数学期望值
1. 事件的數學期望值(簡稱期望值):設某事件成功之機率為,若該事p
m件成功即可得到元,則元稱為此事件的數學期望值。 mp
2. 試驗的數學期望值(簡稱期望值):設一試驗的樣本空間為S,{A,A,?,A}A為樣本空間S的一個分割,且設事件發生的機率為12nk
npmpAm,k,1,2,3?,n。若事件發生,可得元,則稱為此試,kkkkkk,1驗數學期望值,簡稱期望值。
3. 期望值有平均價值的概念。
重要例題:
例1. 統一發票共八碼,每期開出一個特獎號碼,五個頭獎號碼。與特
獎號碼完全相同可得2000000元,與頭獎任一號碼相同,可得
200000元,與頭獎末7碼相同可得40000元(貳獎),與頭獎末6碼
同可得10000元(參獎),與頭獎末5碼同可得4000元(肆獎),與頭
獎末4碼同可得1000元,與頭獎末三碼同可得200元。則一張統
1
一發票的平均價值為多少?(期望值)
例2. 投擲一粒公正的骰子一次,若出現點則可得元,求其期望值。 kk例3. 投擲二粒公正的骰子,(1)若出現點數和為,則可得元,則其kk
rr期望值為 ;(2)若出現點數差為,則可得元,則其期望
值為 。
2
類1. 投擲十粒公正的骰子,若出現點數和為,則可得元,則其期望kk
值為 。
類2. 袋中有大小相同的紙牌10張,分別寫3張100元,2張50元,5
張10元,任取一張,則獎金的期望值為多少?
3
nn類3. 設袋中有1號球1個,2號球2個...號球個,自袋中任取
一球,若取得號球可得元,則其期望值為 。 kk
2n,1ANS: 1.35,2.45,3. 。 3
例4. 投擲四顆骰子有如下的獎金,則期望值為 。
出現 四骰同點 恰三骰同點 兩兩同點
獎金 200元 100元 50元
類1. 設袋中有10元、5元硬幣各3枚,自袋中任取2枚,則期望值
為 。
k2類2. 同時擲10個公正的硬幣,若有個硬幣出現正面,可得元,則k
(1)恰得32元之機率為 ;(2)期望值為 。
4
類3. 一人擲三個公正的硬幣一次,若出現個正面,則可得元k3k,1
(),若不出現正面則輸15元,求其期望值。 k,1,2,3
633710ANS: 1. 15,2. (1),(2),3. 。 ()25624
例5. 一袋子中有12個球,其中有4個白球,(1)從中一次取出3球,
(2)每次取一球,取後放回,連取三次,(3)每次取一球,取後不放回,
連取三次,求白球個數的期望值。
321A,B,C,,類1. 三人同解數學題,解出之機率分別為,今三人合432
5
解48題,則解對題數的期望值為 。 類2. 一箱子內有9個燈泡,其中有4個是壞的,從中取出3個,求壞
燈泡個數的期望值。
類3. 一袋中有3紅4白球,每次從中取出一球,取後不放回,取到紅
球取完為止,求所取次數的期望值。
類4. 從1,2,3,4,5中取出三相異數相加,求所得和的期望值?
4ANS: 1. 46,2. ,3. 6,4. 9。 3
6
例6. 將5個球任意分配到三個不同的箱子中,求空箱的期望值。
類1. 將3個球投入3個不同的袋子中,每次投一球,連續投3次,則(1)每個袋子都有球的機率為?(2)3個球都在同一個袋子的機率為?(3)空袋子個數的期望值為?
類2. 依據經驗,某人完成一件工作,可能是1天、2天、3天、4天,在1天完成的機會是0.2,2天完成的機會是0.4,3天完成的機會是0.3,4天完成的機會是0.1,求完成此工作天數的期望值。
218ANS: 1.(1),(2),(3)。 999
例7. 某次考試中,(1)單一選擇題每題有五個選項,答對得五分,若希
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望五個選項用猜的得分的數學期望值為0,則答錯應倒扣幾分?(2)
複選題,每題五個選項,至少有一個選項是正確的,完全答對給六
分,若希望隨機猜題的得分期望值為0,則答錯應到倒扣幾分? Ans:(1) 1.25,(2)0.2。
類1. 一遊戲機,投10元玩一次,若中獎則得100元,若希望讓玩家每
玩10次,商家則得50元,則商家在機器的設定上應讓玩家贏的機
率為 。
類2. 擲三個均勻的硬幣,若規定出現3正面可得12元,2正面可得8
元,一正面可得4元,為了公平起見,出現三反面應賠 。
8
3Ans: 1. ,2.48。 22
例8. 甲乙二人桌球比賽,規定先勝3場者為贏,敗者應付給贏者100
元,已知兩人獲勝機率均等,於甲勝2場、乙勝1場時,因故終止
比賽,則乙應付給甲 元才合理。
類1. 1654年在法國有甲乙兩人棋藝相等,約定比賽,先勝三場者可得
賭金64披索(金幣名),開始比賽甲先勝一次後,有要事停止比賽,
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對賭金難於分配,於是請教當時有名的數學家巴斯卡。這些賭金應
如何分配?
1類2. 設一年間一家失火的機率為,鄰家失火而被波及的機率為1000
1,且各家同時失火的機率為0。若投保期間一年100萬元的火險5
時,住在相鄰二家中之一家的人應至少繳多少錢才合理。
類3. 某保險公司銷售一年期的人壽保險給一位59歲的先生,保額
100000,保費520元,根據統計,59歲男人活到60歲的機率為
0.997,求保險公司的期望利潤?
類4. 設擲某銅板出現正面的機率為,0,p,1。連續擲此銅板4次,p
1若第次出現正面則得,否則得0,1、2、3、4。設總所得kk,k2
1aa的期望值為,總所得超過的機率為,則 (A) 為之一次多pb3
152p,b,p,p項式 (B) ,a,1 (C) 為之二次多項式 (D) pb16
2(E) a,b。
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3000000Ans: 1. 甲44,乙20,2. ,3. 220,4. ADE。 2497
例9. 某人擲兩粒骰子,若擲出之點數和為7點時,可得100元,並得
繼續投擲的權利,否則就停止,求此人所得的期望值。
1類1. 某人射箭,每回射中紅心的機率為,(1)若欲使命中紅心的機率3
達,至少需幾發?(2)若規定射中一次紅心可得 1000元,且可90%
繼續發射直到沒有射中為止,求獲利的期望值? 類2. 一袋中有6個黑球、3白球,今自袋中取出一球,若取出的球為白
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球,則停止取球,若取出黑球,則將球放回袋中,再從袋中取出一
球,如此進行,直到取得白球為止。求取球次數的期望值。
Ans: 1.(1)6,(2)500,2. 3。
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預備題目:
類2. 設擲某銅板出現正面的機率為,0,p,1。連續擲此銅板4次,p
1若第次出現正面則得,否則得0,1、2、3、4。設總所得kk,k2
1aa的期望值為,總所得超過的機率為,則 (A) 為之一次多pb3
152p,b,p,p項式 (B) ,a,1 (C) 為之二次多項式 (D) pb16
2(E) a,b。
0,p,1類2. 設擲某銅板出現正面的機率為,。連續擲此銅板4次,p
1若第次出現正面則得,否則得0,1、2、3、4。設總所得kk,k2
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1aa的期望值為,總所得超過的機率為,則 (A) 為之一次多pb3
152p,b,p,p項式 (B) (C) 為之二次多項式 (D) ,a,1pb16
2(E) 。 a,b
,?,nn,?,類2. 設一袋中裝有1個1號球,2個2號球個號球 25個
25號球,。現自袋中任取一球,設每一個球被取到的機1,n,25
n會都相等,而取得號球可得元,則取到19號球的機率(100,n)
為 ,而任取一球的期望值為 元。(80.社) 例10. 甲乙二人輪流投擲二粒公正骰子,約定先擲得點數和為7者可得
110元,若由甲先擲,則甲乙兩人的期望值各為多少?
類1. 甲乙丙三人輪流投擲二粒公正骰子,約定先擲得點數和為6者可得
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110元,若由甲先擲,則甲乙丙三人的期望值各為多少? 類2. 甲出資60元,乙出資40元,甲先乙後輪流擲一骰子,先擲出6
點的可獲此100元,何者較有利?
Ans: 1.
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