黄金分割法上机报告

1. 黄金分割法 1.1 黄金分割法简介 黄金分割法适用于单谷函数求极小值问题，且函数可以不连续。黄金分割法是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间 内适当插入两点 、 ，并计算其函数值。 、 将区间分成三段。应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下来的区间上作同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。黄金分割法能使相邻两次都具有相同的缩短率0.618，故黄金分割法又称作0.618法。 1.2 黄金分割法的计算框图 2. 应用MATLAB求解实例 2.1  算法的MATLAB实现 在MATLAB中编程实现的黄金分割法函数为：minHJ。 功能：用黄金分割法求解一维函数的极值。 调用:[x,minf]=minHJ(f,a,b,eps) 其中，f：目标函数; a：极值区间的左端点； b：极值区间的右端点； eps：精度； x:目标函数取最小值时的自变量值； minf：目标函数的最小值。 2.2 一维搜索方法程序考核题 minf(t)=t4 -5t3+4t2-6t+60 最优解：t*=3.2796,f(t*)=22.6590 2.3  建立MATLAB语言程序 （1） 在M文件编辑器中输入下列MATLAB程序代码： function [x,minf]=minHJ(f,a,b,eps) format long; if nargin==3 eps=1.0e-6; end l=a+0.382*(b-a);                % 试探点 u=a+0.618*(b-a);                % 试探点 k=1; tol=b-a; while tol>eps&&k<100000 fl=subs(f,findsym(f),l);    % 试探点函数值 fu=subs(f,findsym(f),u);    % 试探点函数值 if fl>fu; a=l;                    % 改变区间左端点 l=u; u=a+0.618*(b-a);        % 缩短搜索区间 else b=u;                    % 改变区间右端点 u=l; l=a+0.382*(b-a);        % 缩短搜索区间 end k=k+1; tol=abs(b-a); end if k==100000 disp;                        % 找不到最小值 x=NaN; minf=NaN; return; end x=(a+b)/2; minf=subs(f,findsym(f),x); format short; （2） 在MATLAB命令窗口中输入： syms t; f=t^4-5*t^3+4*t^2-6*t+60; [x,fx]=minHJ(f,-10,10) 2.4 程序运行结果 x=3.2797                        % 极小值点 fx=22.6590                      % 在极小值点处的函数值 图2 黄金分割法运算结果 2.5 结果讨论 从以上计算可以看出，利用MATLAB语言程序的求解方法可以满足收敛精度要求，与解析法求解的结果基本一致。 3 参考文献 [1] 孙靖民，梁迎春.机械优化设计（第四版）[M].北京：机械工业出版社，2006. [2] 龚纯，王正林.精通MATLAB最优化计算[M].北京：电子工业出版社，2009. [3] 陈玉莲，李俊文.基于MATLAB的黄金分割法的优化设计[J].科技创新导报，2010：510540.