.抓住男人的胃 25款小餐厅装修令人食欲大开

高等数学竞赛全国第6届决赛非数学类a 高等数学竞赛全国2014第6届决赛 (非数学类2015.3.21武汉华中科大) 一、填空(6小题，每小题5分共30分) 2x,,2uedu,,,0,,1.极限的值是 limxx,,22uedu,0 2xxx,,2222uxuuedu22eeduedu,,2,,,x2e0,,00解 limlimlimlim0,,,,222x2xxx,,,,,,,,xxxx2eexe22uedu,0 2,,,,yay,,0，，,a,02.设实数，微分方程的解是 ,,yy00,01,,,，，，，,, du22,,,,yay,,0,解 记，则即uau,,0，分离变量得，两边积分得 ,adxuy,，，2u du1,,adx，,,，axc，由yu001,,,，得， c,1，，，，112,,uu 11dy,,1从而，进而yaxc,，，ln1，再由 ,,，,,axu1,，，2audxax，1 ,1y00,，得cyax,,，0,ln1 。 ，，，，2a ,00,, ,,50A,00A,3.设，则 。 ,,,,,,11,,, 000,, ,,2B,000解 令，则为零矩阵，故 AEBB,，,,,,,,,110,, 50,,,00 ,,5050504950。 AEBEB,，,，,5000，，,,,,,,494950,,,5050,,,,, 2x，1Idx,4.不定积分是 。 4,x，1 1481127576.doc共6页第1页(华南理工大学李少白内部教学资料) ,1,,1x,1，2,,2x，，，1111x,,,,x解 Idxdxdxxc,,,,,，arctan,,24,,,,,1xx，1222,,1，，,,x，x,，22,,xx,, 或化部分分式， 2x，11，，解得 Idxxxc,,,，，，arctan21arctan21，，，，2,，，222xx，,12，， xdyydx,I,5.设曲线积分，其中L是以为顶点的正方形边1,0,0,1,1,0,0,1,,，，，，，，，， ,xy，L I,界曲线，方向为逆时针，则 解 曲线L的方程为，记该曲线所围区域为D，由格林公式 xy，,1 2Ixdyydxdxdy,,,，,,11224。 ，，，， ,,,LD A,06.设D是平面上由光滑封闭曲线围成的有界区域，其面积为，函数fxy,在该区域，， n,,11/nJfxyd,,,fxy,fxy,0,及其边界上连续，函数在D上连续且。记。，，，，，，,,n,,AD,,limJ则极限= 。 nn,，, lnFt1/t，，1t,,，，解 设，则，limlimlimexpJFtFtfxyd,,,，，，，，，n，，,,,，,,，,，ntt00tAD ,lnlnln00FtFtFF,，，，，，，，，,,F01,，而， limlimln0,,,,FtF，，，，，，，，，，tt,，,，00ttF0，，t,0 11t0fxydfxyd,,,,,，，，，t0,,,,fxyfxy,,,AA，，，，1DD,又 Fd,,0limlim，，,,,,,tt00tAtD111t0,,,fxyfxydfxyfxydfxyd,,, ,ln,,ln,ln,，，，，，，，，，，,,,,,,,t0AAADDD ,ttfxy,(把当常数看待，用了有界闭区域上连续函数必一致连续的性质)， aaa,ln，，，， ,,1,limexp0expln,JFfxyd,,,故。(求不出来具体值，不必要勉强～) ，，，，,,n,,n,，,A,,D , n,2ljn,1,2,,,？P二、(满分12)设是平面上点处的个方向向量，相邻两个0j 1481127576.doc共6页第2页(华南理工大学李少白内部教学资料) 2,向量之间的夹角为。若函数在点有连续偏导数。证明:fxy,P，，0n n,fP，，0,。 ,0,,lj1,j ,,,,22jj,,,,,,证 不妨设为单位向量，且，而 ljn,1,2,,,？l,，，cos,sin,,,,jj,,,,nn,,,,,, ,,,,,fPfP,fP，，，，，，000,，从而,,,fPl，故有 ,,fP,，，，，,,0j0,,xy,lj,, nnn,,,,,,fP，，0,。 00,,,,,,,,,,fPlfPlfP，，，，，，,,,,,000jj,l,,,111jjj,,j 三、(满分14分)设均为阶方阵，其中可逆。证明:存在可AABB,,,AB,n121222 ,1,1逆矩阵，使PAQBi,,1,2成立的充要条件是和相似。 PQ,AABB，，ii112 ,,,,1111证 必要性 若存在可逆矩阵，使PAQBi,,2,1成立，则，PQ,BQAP,，，ii22 ,,,,,,,,,111111111,1,1从而，因此和相似。 BBBQAPPAQQAPPAAP,,,AABB11212121212 ,1,1,,,111C充分性 若和相似，则由定义存在可逆矩阵，使。 AABBCAACBB,1121212 ,,11,,11于是，令，则可逆且，进而由PAQB,CAACBB,PCQACB,,,PQ,11122122 ,1,1可得，因此存在可逆矩阵，使QACB,AQCBPBPAQB,,,,PQ,2222222 PAQBi,,1,2成立。 ，，ii n11ppp2px,,0,xxxn,，,1,2,？四、(满分14分)设，且。证明:，，,1，nnn1p4，x1,1nn收敛且求和。 p22yyy,证 记，则由题设，所以，数列yyyyyy,，,,,,0yx,,,nnn，1nnnnnn，，11nn 单调增。 p1,,Ay,limyy设数列有上界，则单调有界，故收敛。记，则，Ay,,,,,,,lim0nnn,,nn,,,,n4,, 2A,0A,0yAAA,，且，从而推得与的矛盾结论。因此数列单调增且只有无界， ,,n limy,，,从而。 n,,n 1481127576.doc共6页第3页(华南理工大学李少白内部教学资料) 1111111由，即，得，进而 ,,,yyy,，1,,，，nnn，1yyyyy，，yyy，111，，nnnnn，1nnn，1nnn,,111111， S,,,,,,,,,,,npxyyyyy11，，nnn,,,111，，111nnnnn,, nn,,11111pp由于，从而收敛且和limlimlim404S,,,,,,,,,,,np,,,,,,nnn，xyyyy1,1n,1n111nnn，，,,n pSS,,lim4。 n,,n 五、(满分15分)(1)将上的函数展开成傅里叶级数，并证明:fxx,[,),,,，， ，,2nu1,。(2)求积分的值。 ,,Idu,u2,1k6，e,n10 解 (1)fxx,作周期延拓，得一连续的偶函数，其傅里叶级数是余弦级数。 ，， ,2， biaxdx,,,,？,01,2,,，，i0,,0 ,,,，，222,axnxdxxdnxxnxnxdx,,,,cossinsinsin,,n,,,0 ,,,nn000，， 4,,,,,,,1,3,n？212,,2。 ,,,,,,0coscos1nxn，，,n,,,,,,,nnn0,,,0,2,4,n,？, fxx,由于延拓后的函数连续，根据狄利克雷收敛定理，上的函数有 [,),,,，， ,,,41141,,fxxxxkx？。 ,,，，，,,，coscos3cos5cos21，，，，,,,2222352,,,,21k，k0,，， 2,,,,411x,0f,,,,00,令，得。 ，，,,2228,kk，，2121kk,,00，，，， 2,,,,11,1111ss,,,,sss,,,,记，则由，可得 ,,12,,1212222k844kk，21kk,,102k，，kk11,,，， 2222n3,4,,1,,,ss,,,s,，，即。 ,121248386k6,n1 1481127576.doc共6页第4页(华南理工大学李少白内部教学资料) u(2)记，则在上成立 gu,[0,)，,，，u1，e ,u,uue1n,2,,,,uuunu， ,,,,，,,,11？guueeeue，，，，，，,uu,11，，ee1n, 记该级数的前项和为，余项为。则由莱布尼茨型交SuruguSu,,n，，，，，，，，nnn ,，nu1，，错级数(一般项单调减少趋于零)的性质，。因为 ruue,，，n，,bb，,,,b11,,,,uuuurudu,，就有，ueduudeueedu,,,,,,limlim，，,,n22,,,,0bb,，,,，,nn，1，，0000,, ，,，,1由于，从而。这样就有 lim0,lim0rudurudu,,,lim0，，，，nn2,,nnn,,,,,,n，1，，00 ，,，,，,，,，,nu11k, ,,,，,,，IduguduSudurudurudu1，，，，，，，，，，,nnn,,,,,2u，1ek1k,00000 2,,,11111111,k,1Iss,,,,，,，,,,,,,,？1122故 ，，,,,112222222kk2345412k2kkk,,,111，， 2Ifxyd,lim,,fxy,六、(满分15)设为上的非负连续函数，若存在极R，，，，,,t,，,222xyt，, fxyd,,I限，则广义积分收敛于。 ，，,,2R 2fxyd,,Ifxy,R(1)设为上的非负连续函数，若广义积分收敛于。证明极限，，，，,,2R I存在且等于。 lim,fxyd,，，,,t,，,,,,,txyt 22axbxycy，，222ed,I(2)设收敛于，其中在正交变换下的标准型为axbxycy，，2,,2R 22,,,。证明都小于零。 ,,uv，1212 2fxy,R证 (1)由于为上的非负连续函数， ，， fxydfxydfxyd,,,,,,,,所以，若广义积分，，，，，，,,,,,,222222,,,txyt,xytxyt，,，,2fxyd,,lim,,lim,fxydIfxydI,,,,I收敛于，从而，由，，，，，，,,,,,,tt,，,,，,2222222R2xytxyt，,，, I夹逼准则可得，极限lim,fxyd,存在且等于。 ，，,,t,，,,,,,txyt 1481127576.doc共6页第5页(华南理工大学李少白内部教学资料) 2222axbxycy，，2axbxycy，，2(2)记，则由ed,收敛于及定义，可得IIted,,，，,,,,2222Rxyt，, limItI,。 ，，t,，, xab,,,,22再记，则，因A实对称，所以存在正交矩阵axbxycyxyA，，,2A,，，,,,,ybc,,,, ,0,,1TPAP,P，使得，其中是A的特征值，也是标准型的系数。 ,,,,,120,,,2 xu,,,,2222在变换下，有。又由于 ,Paxbxycyuv，，,，2,,,,,,12yv,,,, uxxu,,,,,,,,222222TT，故变换,PuvuvPxyPxyPPxy，,,,，,，，，，，，，,,,,,,,,yvvy,,,,,,,, ,xy,，，222222把圆盘变为uvt，,，且，从而 ,,P1xyt，,,uv,，， ,xy,2222，，,,,,uvuv，，1212limItI,。再由和(1)的结论,,Iteded,,，，，，,,,,t,，,,uv,，，222222uvtuvt，,，, 22,,uv，12可得limedI,,，在正方形区域上分离积分变量得 ,,t,，,,,,tuvt, tt2222,,,,，uvuv1212， ededuedvItIt,,,,,，，，，12,,,,,,,,,tuvttt, 22,,uv，12ItItlimed,因为与都是严格单调增加的函数，收敛等价于，，，，12,,t,，,,,,tuvt, tttt2222,,,,vuvu2121lim,limeduedvlimedu,,0limedv都收敛，而收敛等价于，收1,,,,,，,,，,,，,,，,tttt,,,,tttt,,0,,,敛等价于，因此都小于零。 212 1481127576.doc共6页第6页(华南理工大学李少白内部教学资料)