缀术

缀术 《缀术》是祖冲之所作，还是祖暅之所作，中国数学史界至今没有定论，在可以预见的将来，也不可能有定论。不过，有两点是可以肯定 的：一，它是祖冲之父子的著作。二，它是中国自汉魏至隋唐水平最 高的数学著作。李淳风高度评价了祖冲之的数学贡献，认为“指要精密，算氏之最者也”。他所著的《缀术》，因“学官莫能究其深奥，是故废而不理”。[1]遂失传。稍前于李淳风的王孝通却对《缀术》横加 指责，他说：“其祖暅之《缀术》，时人称之精妙，曾不觉方邑进行之 术全错不通，刍亭[2]、方亭之间，于理未尽。”[3]那么，到底是《缀术》“全错不通”，还是王孝通“莫能究其深奥”？这一问题虽未引起广泛的讨论，学术界却一直有不同的看法。笔者认为：“王孝通对缀术的指责表明王氏不能理解祖家父子的数学创造，而不是相反。”[4]然而，当时对这种看法的理由说得不充分，现阐述如下。 首先，考察中国传统数学的发展脉络。隋唐虽然是盛世，数学上也有 设立算学馆，整理算经十书等举措，但除在天文历法的计算中先后使 用了等间距和不等间距内插法外，几无创造。它在数学成就与数学理 论上，不仅远低于后来的宋元，而且远低于前此的魏晋南北朝。人们 往往只注意明朝数学的落后——它适逢西方文艺复兴前后，西方数学 崛起，随后是变量数学的产生，中国从此失去了数学大国的地位，以 至于700年后的今天，还没有完全翻过身来，容易引起重视，而同时， 却忽视了盛唐数学的落后。因为一方面宋元数学的高潮掩盖了在它前 面曾经出现过的低潮，另一方面设立算学馆、明算科，整理算经十书 等举措给人以繁荣的假象；同时，人们也不容易将盛世与数学这一重 要学科落后联系起来；甚至乾嘉时期人们还认为数学“显于唐，晦于 宋”。[5]实际上，隋唐时期没有出现过一位可以与其前刘徽、祖冲之， 其后贾宪、秦九韶、李冶、朱世杰等比肩的数学家，也没有创作过一 部可以与其前《九章算术》、《九章算术注》、《缀术》，其后《黄帝九 章算经细草》、《数书九章》、《测圆海镜》、《详解九章算法》、《算学启 蒙》、《四元玉鉴》等等量齐观的数学著作。王孝通的《缉古算经》在 解决土木工程中的数学问题上有所推进，其主要贡献是三次方程。而 据钱宝琮考证，祖冲之已能解负系数三次方程，[6]比王孝通还高明。 李淳风等整理十部算经，很有贡献，然而，除《周髀算经注释》比赵 爽注有所推进外，他们对其他算经的注释，意义都不大。尤其是对《九 章算术》的注释，从整体上讲，无论是数学成就还是数学理论，都是 远远低于刘徽注的作品。[7]应该说，王孝通、李淳风是唐朝最有名的两位数学家．他们尚且如此，遑论其他。事实上，李淳风已经发现 隋和唐初的数学不如前代，直言当时的算学馆学官（相当于今天的重 点大学数学系教授）对《缀术》“莫能究其深奥，是故废而不理”。这 一状况的直接后果是造成《缀术》失传的悲剧。《缀术》列入算学馆 教材。但是，是不是实施了教学活动，我很怀疑。教师都不懂，怎样 教学生？只好“废而不理”。此语出自一位当时的大数学家，应该是可信的。《唐六典》等史书反映的只是官方文件，而官方文件总不会百 分之百的被实行的，任何社会都是这样，唐初也不会例外。顺便说一 下《缀术》的失传问题。笔者认为，《缀术》的失传不是在宋初，而 是在唐初之后，很可能在安史之乱时。当时没有印刷术，《缀术》只 有几个抄本，被废而不理，是很难流传下来的，特别，经不起大的全 国性的战乱。在安史之乱之后，又有唐末的大战乱和五代十国的纷争。 无论如何，是流传不到宋初的。史书说楚衍“于《九章》、《缉古》、《缀 术》、《海岛》诸算经尤得其妙”，[8]只不过是史家信笔书来，并不是 完全靠得住的。楚衍是宋初天算家的领袖，贾宪的老师，天圣初（1023）与宋行古等制《崇天历》，皇佑（1049~1053）中造《司晨星漏历》， 后来与周琮同管司天监。可见，最迟在11世纪50年代，楚衍还积极 地从事科学活动。宋朝从建国到整个11世纪，没有发生过大的社会 动乱或打击文化人的活动，如果楚衍还看到过《缀术》，那么，不到 30年后的元丰七年（1084）秘书省刻十部算经时，不会找不到《缀 术》而付之阙如。总之，是隋唐数学的落后，导致了《缀术》的失传。 其次，与第一点相联系的，我们考察一下李淳风、王孝通对刘徽、祖 冲之父子的指责。先看李淳风等对刘徽的指责，主要有三处。第一处 是《九章算术》方田章方田术注释中，李淳风等针对刘徽注关于“凡广从相乘谓之幂”的定义，一方面说“观斯注意，积幂义同”；一方面又由幂字的本义，说“循名责实，二者全殊”，指责刘徽关于幂的定义 “全乖积步之本义”，表示要“存善去非，略为料简，遗诸后学”。[9]这种指责是没有道理的。《九章算术》没有幂的概念，它所使用的积， 既可以是面积，又可以是体积。刘徽则在积中划出广从相乘这一种， 称为幂，也就是现在所说的面积。显然，幂是积的一种。换言之，幂 是积，而积不一定是幂。在逻辑上，幂是种，积是属，广从相乘是种 差。刘徽关于幂的定义符合逻辑学中定义等于属加种差的要求，是十 分严谨的。李淳风既看不出积、幂的相同之处，又看不出它们的区别， 指责正确的刘徽，恰恰暴露了自己逻辑修养和数学水平的低下，起码 远远低于刘徽。[10] 第二处是方田章圆田术注释，李淳风等说，对周三径一，“刘徽将以为疏，遂乃改张其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终 不能究其纤毫也。祖冲之以其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭 诸家，考其是非，冲之为密。故显之于徽术之下，冀学者之所裁焉。”[11]李淳风等表彰祖冲之求圆周率的成绩是完全正确的，然而贬斥刘徽则 是十分错误的。祖冲之与刘徽，没有是与非的问题，只有圆周率精确 度的问题。 科学的理论、正确的方法的建立，其意义 远比它们的应用重要。祖冲之求圆周率的程序没有流传下来，比较可 靠的看法是，他使用了刘徽的方法，而在计算上更加精确。钱宝琮指 出：“李淳风缺少历史发展的认识，有意轻视刘徽割圆术的伟大意义， 徒然暴露他们自己的无知。”[12]钱宝琮的看法非常中肯。李淳风不懂 刘徽证明圆面积时所使用的无穷小分割方法和极限思想。 第三处在少广章开立圆术注释中，李淳风等在引用祖暅之的开立圆术 之前说：“祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆qun为方率，丸为圆率。”在引用了祖氏开立圆术之后说：“张衡放旧，贻哂于后。刘徽循故， 未暇校新。夫其难哉，抑未之思也。”[13]这里的所谓“祖暅之谓”恐是李淳风等未准确反映祖氏的意思。刘徽否定了《九章算术》的开立圆 术，设计了牟合方盖，提出球与方盖的体积之比为 π?4 这一正确的论断，指出了解决球体积的正确途径。刘徽未能求出牟合方盖的体积， 实事求是地记下了自己的困惑，并寄希望于后学，表示“以俟能言者”，[14]表现了一位真正的科学家的宽广胸怀。刘徽多次阐发并应用了截 面积原理，为祖暅之原理的最后完成作了充分准备。[15]刘徽还批评了张衡开立圆术“欲协其阴阳奇偶之说而不顾疏密”[16]的错误。祖氏父子继承刘徽的工作，提出祖暅之原理，求出了牟合方盖的体积，最 终解决了球体积问题。以祖冲之父子之实事求是和严谨的学风，是不 可能在开立圆术问题上将刘徽与张衡等量齐观，并且指责刘徽与张衡 一样“以圆qun为方率，丸为圆率”的。显然是李淳风等以自己的思想 篡改了祖氏的意思。在这里，李淳风等同样不理解刘徽推翻《九章算 术》开立圆术，设计牟合方盖的重大理论意义和实践意义。 总之，李淳风等对刘徽的三处指责，正确的都是刘徽，错误的都是李 淳风等，反映出李淳风等无法理解刘徽的无穷小分割方法和极限思 想，反映出李淳风等的理论水平和逻辑修养远远在刘徽之下。 我们再分析王孝通对刘徽和祖冲之父子的评价。比较起来，王孝通对 刘徽比对祖冲之父子客气一些。他说：“魏朝刘徽笃好斯言，博综纤隐，更为之注。徽思极毫芒，触类增长，乃造重差之法，列于终篇。 虽即未为司南，然亦一时独步。”[17]王孝通没有挑出刘徽什么毛病，却只把刘徽看成一个“思极毫芒”的聪明人，称刘徽为魏晋数学的“独 步”，但其思想和方法又不能成为数学家的指南。要求王孝通象我们 一样认识刘徽的业绩，是强人所难。因为，即使刘徽本人对自己的思 想和成就在中国数学史上的地位，也不会有我们这么清楚。不过，王 孝通没有理解刘徽的数学思想和成就的精髓，尤其是没有理解他的无 穷小分割方法和极限思想，则是无疑的。他贬斥了以往几乎所有的数 学家，而没有被贬斥的刘徽又不能成为“司南”，言外之意，只有他自 己才有资格做“司南”。这种居高临下，以为自己比刘徽高明的态度， 当然是我们不能接受的。 王孝通对祖冲之父子的指责在前面已引出。在王孝通看来，《缀术》 是有严重错误的。由于《缀术》失传，人们难以拿出确凿的证据证明 王说之不确。但是，我们可以从侧面，从对祖冲之父子的其他著作的 分析中推翻王孝通的看法。流传到今天的完整的祖冲之的著作，只有 关于《大明历》的《上大明历表》、《大明历法》和《大明历议》（今 常称为《驳议》），而祖暅之的著作则只有开立圆术等片段。这些著作 的共同特点是实事求是，言之有据，推理严谨，逻辑清楚，没有空穴 来风，或者数字神秘主义的东西。按照我们今天的认识水平，可以批 评他们的论述这里不足，那里有局限性，但是，按照南北朝时代人们 的认识水平，却难以发现什么错误。中国古代的数学家和天文学家的 著作中，大都存在或多或少的错误，或者数字神秘主义的。刘徽 和祖冲之父子大约是错误最少的。刘徽的《九章算术注》除图之外， 被完整地保存了下来。遍查整个刘徽注，除反驳《九章算术》宛田术 时，有一个推理失误[18]外，没有发现任何错误。钱宝琮词曰：“谁是刘徽私淑？都说祖家父子，成就最辉煌。”[19]祖冲之父子除了继承刘徽求圆周率和球体积的工作外，他们实事求是的科学态度，“知之为知之，不知为不知”的严谨学风，缜密的逻辑推理，以及不迷信古人， 敢于创新的进取精神，都是与刘徽相通的。因此，《缀术》尽管已失 传，无法了解它的具体内容，但是，可以肯定地说，除了其成就比刘 徽更大，理论更深刻外，其严谨、缜密方面，应该与刘徽的《九章算 术注》大体相当。就是说，《缀术》可能有“于理未尽”的地方，但是，不会有“全错不通”的内容。我们认为，是王孝通“莫能究其深奥”，又过于自负，才说它“全错不通”。上面已经指出，虽然刘徽《九章算术 注》未失传，但王孝通、李淳风等只能理解其中通俗的内容，无法理 解其高深的内容和严密的逻辑，更无法理解其无穷小分割方法和极限 思想。事实上，唐初以降，一千多年间，人们一直未理解刘徽的这些 贡献，而其中几个无穷小分割和极限过程，是20世纪才搞清楚的，有的延宕至70年代末80年代初才弄明白。只是它与《九章算术》一 体行世才未失传。我们可以设想，如果《缀术》在刘徽的无穷小分割 思想和极限思想的基础上再向前迈一步，哪怕是一小步，那么，王孝 通、李淳风和当时的学官们是无论如何也理解不了的。笔者认为，这 也许是“学官莫能究其深奥，是故废而不理”，导致《缀术》失传的根 本原因；也是王孝通指责它“全错不通”的根本原因。 第三，在学术品格上，王孝通是与刘徽和祖冲之父子根本相反的。前 已指出，刘徽、祖冲之父子既不迷信古人，敢于创新，又谦虚谨慎， 虚怀若谷，寄希望于后学。而王孝通呢，他对刘徽、祖冲之父子的轻 视、贬低，一如前述。对他人呢，在评论刘徽和祖暅之之间，他说：“贺循、徐岳之徒，王彪、甄鸾之辈，会通之数无闻焉耳。但旧经残 驳，尚有阙漏。自刘（徽）以下，更不足言。”[20]可以说是全盘否定，一片漆黑。就是说，对他以前的数学家，除表彰《九章算术》的成就， 客观叙述张苍删补的事实，有保留地肯定刘徽之外，一无是处。这种 虚无主义的态度，在古算经的序言中，是绝无仅有的。 他自述说：“钻寻秘奥，曲尽无遗。代 乏知音，终成寡和。”对自己的《缉古算经》，他要求皇上“请访能算之人，考论得失。如有派其一字者，臣欲谢以千金。”[21] 就是说，他的工作已经尽善尽美，天衣无缝了，同代人无法与之唱和。 。焦循评论说：“刘氏之（《九章算术》）注，极 精至巧，令而通之，已足括孕此书（《缉古算经》）。且以其义核王氏 之术，可排者正不止一字。”[22] 有的学者认为提出“千金排其一字”，反映了王孝通严谨的学风，对此，笔者不敢苟同。 他在描述自己写《缉古算经》的心情时说： “臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹。” [23]《缉古算经》第1问的数学计算并不复杂，王孝通说：“臣每日夜思量，常以此理屈滞，恐后代无人知者。” [24]将自己的知识贡献给社会，是学者的 责任。但是，以为只有自己才能达到最高峰，后来人不可能达到、更 不可能超过自己的水平，与刘徽“以俟能言者”的精神境界形成了鲜明的对照，。 但是，据钱宝琮考证，祖冲之已能解负系数三次方程。[25]总之， 王孝通贬低前辈，蔑视同辈，轻视后学，以为自己是前无古人，后无 来者。一个科学家不必做谦谦君子，但也不能狂妄到如此地步。在这 种心态支配下，不是不能做一些创造性的工作，然而，一般说来，不 可能做出象刘徽、祖冲之那样水平的工作来。正是在这种目空一切的 心态支配下，王孝通对自己不懂的东西，不是去虚心学习，认真研究， 而是斥之以“全错不通”。实际上，王孝通的数学成就和理论水平不仅 比刘徽、祖冲之差得远，《缉古算经》的编纂思想甚至不如《九章算 术》的主体部分。[26] 看不懂前人的东西，而指斥前人有错，在中国数学史上不乏其例。明 朝数学家顾应祥看不懂元朝李冶《测圆海镜》中的天元术，谓李冶“止 以天元一互算而漫无下手之处”，[27] 著《测圆海镜分类释术》，买椟 还珠，将天元术尽行删除，贻千古不知而作之讥。笔者认为，王孝通 对《缀术》的指责，类似于顾应祥与《测圆海镜》的关系。如果有一 天《缀术》重新面世，那么，王孝通在中国数学史上的地位不会比顾应祥高。