关于长期债券是长期投者无风险资产的研究

关于长期债券是长期投者无风险资产的研究 关于长期债券是长期投者无风险资产的研 究 2007年3月 第27卷第2期 数理统计与管理 ApplicationofStatisticsandManagement MaL.2o07 Vo1.27Nn2 文章编号:1002—1566(2007)02—0354—06 关于长期债券是长期投者无风险资产的研究 聂溱李金林任飞 (北京理工大学管理与经济学院,北京,100081) 摘要:假设短期利率服从CIR模型,通过研究投资者如何选择长期债券和短期债券进行资产配置, 发现保守的长期投资者在长期债券上投资的比例更大;投资者的投资期限越长,投资的长期债券 越多;在进行债券投资时不存在市场时机的选择.对于长期投资者而言,可以为其提供长期稳定 收益率的长期债券才是无风险的. 关键词:长期债券;无风险资产;CIR模型 中图分类号:O212文献标识码:A TheStudyonthatLong-TermBondsareIsk—freeAssets f0rLong—TermInvestors NIEZhen.LIJin-lin.RENFei (SchoolofManagementandEconomics,BeijirigInstituteofTechnology,Beijing,100081) Abstract:Assumingshort—terminterestratefollowsCIRmodel,afterstudyinghowinvestorsallocatetheirwealth betweenalong—termbondandashort—termbond,wefindthatconservativeinvestorsholdmorelong—termbonds, andthatinvestorsholdmorelong—termbondsiftheyhavelongerhorizon.Wealsofindthatthereisnotmarkettim— ingininvestingbonds.Forlong—termimestors.1ong—termbondsarerisk—freebecausetheyCalldeliverasteady returninthelongterm,thoughtheirvalueisvariableintheshortterm. Keywords:Long—termbond;risk—freeasset;CIRmodel 0引言 着名经济学家Markowitz(1952)?提出的均值方差方法为研究资产配置问提供了 一 个分析框架,并奠定了资产组合理论的基础.在研究资产配置问题时,传统的均值方差分析 方法和许多研究通常都假设无风险利率为常数,将长期债券当作风险资产,将短期债券当作无 风险资产. 实际上,利率的变化会使长期投资者和短期投资者对长期债券持截然不同的观点.Can— ner,Mankiw,andWeil(1997)提出了资产配置之谜,分析认为保守的投资者应该持有更多的 债券,而这与传统的均值方差分析的结论不一致,出现这种矛盾的主要原因可能是:均值方差 分析假设短期利率是常数,而在现实中利率是不断变动的.如果短期利率不随时间变化,长期 债券和短期债券有同样的风险和收益,对不同的投资者而言,两种债券没有差异.如果短期利 率随时间变化,长期债券的价格就会随利率的变化而变化,导致长期债券的短期收益率不确 定,短期投资者由此认为长期债券是有风险的;相反,长期投资者关注的是长期的资产收益,并 非短期的资产收益,长期债券可以保证稳定的长期收益率,因而长期投资者会将长期债券看作 收稿日期:2006年O1月10日 聂溱,李金林等:关于长期债券是长期投者无风险资产的研究355 无风险资产. 本文将假设短期利率服从CIR模型,然后研究投资者如何在长期债券和短期债券之间进 行资产配置的问题.本文的第2部分对债券投资模型进行了描述,第3部分利用动态规划的 方法求出了模型的解,第4部分详细分析了投资期限和风险厌恶程度对长期债券投资比例的 影响,第5部分对全文做了总结. 1模型描述 为了简化问题,在分析时假设投资者在短期债券和长期债券这两种债券上进行资产配置, 短期利率服从CIR模型,则短期利率r(t)满足: dr(,)=(k—Kr(,))+47(,)dZ(,),(1) 其中,,和是常数:Z(t)是一个布朗运动,漂移率为0,方差率为1.根据Cox, Ingersol1,andRoss(1985),一个在时刻到期的零息票债券,到期期限记为.=T1一t,价 格B(t,T1)为: B(t,T1)=exp(Ol(1)+b(1)r(t)),(2) 其中, = ),?mIJ'【j, ,2(exp(.)一1)一 '(4) = ~/(K+Air)+2,(5) 其中A是利率风险的价格.零息票债券B(t,T)在t时刻的收益率满足下面的随机微分 方程, =(1+6A)r(,)dt+647(t)dZ(,)(6) 这个零息票债券的风险溢价bAtrr(t)是随时间变化的,一方面时间t的变化而会引起b 的变化,另一方面随着时间t的变化r(t)也变化,这些都将导致风险溢价的变化. 进一步假设投资者是风险厌恶的,他的效用函数是定义在期终财富上的幂效用函数, U(W)=(7) 1一y 假设投资者在一个期限为.的长期债券和一个短期债券上配置资产,在t时刻投资于长 期债券的比例为(t),则投资于短期债券的比例为1一(t),则投资者的财富动态为 d(,)=(1一)(,)rd,+(,),(8) 将长期债券的价格过程(6)带人整理得 dW(t)=[r+(t)bAirr]W(t)dt+?(t)W(t)bcr47dZ(t).(9) 投资者面临的问题是在财富动态(9)的约束下,如何最大化其期终效用, E{),(10) 其中了是投资者的期终时刻,()是投资者的期终财富,是条件期望算子,并以t时刻 356数理统计与管理第27卷第2期2007年3月 的所有信息为条件. 2模型求解 定义=T—f,为t时刻投资者的投资期限,to(,r,)为投资于股票的最优投资比例,-, (,r,)为最优期望效用.参考merton(1990),可以将(,r,)和-,(,r,)的一阶和 二阶条件用标准的动态规划方法推导出来. +-,(r+tObAtr2r)+126r +-,(Jj}一)+orr+-,WtObtrr}=0,(11) 对(t)求导得到 -,WbAtrr+-,6orr+-,耵Wbtrr=0,(12) 由一阶条件(12)式可以得到 ,=((c13, 将上式代人(11)式得到偏微分方程 一 j2,~22 一 ?,+学一-o,c14, 终值条件为 -,(,r,0)=U(W),(15) 并且最大化的二阶条件为-,<0. 首先猜测最优解的形式为 -,(,r,)=(r,汀)U(W),(16) (r,)=exp[A(丁)+()r],(17) A(O)=B(O)=0,(18) 其中U(?)是(7)式给出的投资者的效用函数.这种形式的解自动满足期终条件和最 大 化的二阶条件.将猜测的解(16)式和(17)式带人(13)式,得到最优投资比例为 )=.(19) 进一步将(16)式,(17)式和(19)式代人偏微分方程(14),经过整理得到一个关于r(t)的 一 元一次方程,r(t)的系数和常数项必须同时为0,这样就得到了两个非线性常微分方 程, =cB++d(20)?Z V : Bk,(21),,,一', 其中的参数值为 c:一K,(22) 聂溱,李金林等:关于长期债券是长期投者无风险资产的研究357 d=一+.(23) 其中第一个微分方程(20)只涉及变量B(r),第二个方程(21)'涉及剑变量A(r)和B(r), 则按照顺序可以依次解出来,结合它们的初始条件(18)式可以求得 嘶)=害(字r()),(24) 附=鲁, 其中, = /ez2d~'Z.(26) 这样,就得出了投资者在股票上的最优投资比例为 ?(,):,(27) 其中B由(25)式给出 3长期债券的投资比例 从式(27)可以看出,投资者在长期债券上的投资比例(t)和当前的利率r(t)无关,这说 明对于债券投资不存在市场时机的选择.根据Liu(2001)中3所估计出的利率期限结构 的参数值,长期债券的期限分别为5年,1O年和20年,投资者的投资期限从1年到20年,投资 者的相对风险厌恶系数分别为5,1O,15和2O,将这些参数值带入式(27),可以得到如表1所 示的结果,可以更直观的看出长期债券的投资比例的影响因素. 参考Liu(2001)中表3中的参数值,设定参数值为K:0.1965,=0.0702,A=,0. 3869,长期债券的期限r?{5,1O,2O},相对风险厌恶系数r?{5,1O,15,2O},然后根据式 (27),计算投资期限从1年到20年的投资者在长期债券上的投资比例. 表1长期债券配置比例 投资者的相对风险厌恶系数7=10 债券期限为5年0.27120.48340.65680.9131 债券期限为10年0.20050.35740.48560.6751 1.2325 0.9l13 1.3800 1.0203 358数理统计与管理第27卷第2期2007年3月 投资者的相对风险厌恶系数=20 债券期限为5年0.27940.50340.68640.95661.29261.4468 债券期限为10年0.20660.37220.50750.70720.95571.0697 债券期限为20年0.18460.33260.45350.63200.85410.9560 j一—,一一一一————一——一… / / , , .———————————-———一. 图1相对风险厌恶系数的影响图2投资期限对资产配置的影响 将投资者对长期债券的配置比例作为相对风险厌恶系数的函数,从图1可以看出, 投资者的相对风险厌恶系数尸越大,在长期债券上的投资比例越大.只有长期投资者将长期 债券看作无风险资产,才会在风险厌恶程度越大的时候在长期债券上投资更大的比例.这点 从表1中也可以看出. 将投资者对长期债券的投资比例作为投资期限的函数,图2反映了投资者的投资期限对 长期债券投资比例的影响.当投资者的投资期限越长时,在长期债券上的投资比例 越大.这 反映长期投资者对长期债券的看法与短期投资者完全不同,对短期投资者而言,长期债券在短 期的价值波动很大,并且超额收益率也很低,而短期债券是无风险的.对长期投资者来说,短 期债券并不是无风险的,因为还存在再投资风险,未来的利率是不确定的,投资于短期债券就 要求不断的滚动投资,这样未来的收益率就是不确定的,而长期债券却能够给投资者带来稳定 的长期收益. 4小结 传统的均值方差分析方法把短期债券看作无风险资产,而把长期债券看作是和股票一样 的风险资产,采用均值方差分析方法配置资产的结果是长期债券在资产组合中所起的作用很 小,很难解释为何长期投资者持有大量长期债券. 聂溱,李金林等:关于长期债券是长期投者无风险资产的研究359 在本文的模型中,假设利率服从CIR模型,长期投资者将长期债券看作无风险资产,研究 表明:风险厌恶程度越大,在长期债券上投资的比例就越大:投资者的投资期限越长,长期债券 的风险就越小,在长期债券上的投资比例也就越大;在进行债券投资时不存在市场时机的选 择. 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