罗―勃拉克维尔定理和一致最小方差无偏估计
?6.5 罗―勃拉克维尔定理和一致最小方差无偏估计
,在前两节中我们看到有效估计平均说来是比较接近参数真值的一个估计,但并不是每个参数都能有有效估计,因为不是任何无偏估计都能达到罗—克拉美不等式下界,为此我们必须研究这样两个问
,一个问题是如果知道一个无偏估计,能否构造一个新的无偏估计,其方差比原来估计的方差小,罗—勃拉克维尔定理给出了一种改善估计的方法; 另一个问题是一个无偏估计虽不是有效估计,但是可考察它的方差在一切无偏估计类中能够达到最小的条件。
,,,,,定理6.5 (罗—勃拉克维尔定理) 设与是两个随机变量,E=和D>0。
,,,,,(x)设=x条件下的条件期望E{|=x}=则
,,,(,),(,)]=,D[]?D (6.54) E[
(证明略)
22,,,,,,,,,例6.22 设与服从二维正态N(,,,,),这里,分别为它们的221112
,,均值,分别为它们的方差而为它们的相关系数,且-1<<1。
在第三章中我们知道维分布的联合密度函数
,,,,x,x,y,y,1121122,(,)exp{[()2()()()]}fxy,,,,22,,,,,2(1),,,,,112221,12
112f(x) = exp{,(y,b)}1222,,2(1,),,,21,22
其中边际分布密度函数
2,1()x,f(x)= exp{},12,2,,,2122
和
,2,b=+ ,(x,,)21,1
条件期望
,,,(x),=E(|=x)= yh(y|x)dy,,
2,1(y,b)ye,dy = 22,,22(1,,),21,,,,22
,2, =b=+ ,(x,,)21,1
,(x) 的数学期望
,2,,,(,)E= E[+]= ,(x,,)221,1
而方差
2,,(,),(,)E= E[–] 2
2,222 = E[] ,(,,,)12,1
222,,,,, == D 22
当然这一只能起定理的直观解释作用,实际用处不大,因为只要五个参数中有一个未知,(),,就不能是一个统计量。它包含这一未知参数,当然不能作为参数的估计。
罗—勃拉克维尔定理能有助于我们寻找未知参数的较优良的估计,它可以引出如下定理。
,,,,,定理6.5 设,,…,为取自一个母体的子样。具有概率函数n12
,,,,,,f(x;,),,,,?,设=u(,,…,)是的一个充分统计量,=u(,n1122211
,,,,,,,(,),,…,)不仅是的函数,且E=0,则E(|)=是的充分统n211221
,,(,),(,)计量的函数,其均值E[]和方差D[]
表