薛定谔方程

薛定谔方程 一维简谐波方程如下： xit,,,2(,) ,y,Ae ,,,/P,,E/,另外频率为，波长为，将两式代入简谐波方程，并记,,A0可以得到时间及三维轨道波方程，这个方程式也就是德布罗意物质波 的方程式。 ,i,,(Et,P,r),,,(r,t),,e0 2P2,,,,,2,物质波方程对x,y,z求二次偏导可得： ,,i,,E,t,t对求一级偏导可得： 2E,P（/2m），U牛顿力学可知，然后将上式轨道二次偏导变形为222,,,,,P,代入时间一次偏导式，即有薛定谔方程： 2,,,2,,,，U,i,, 2m,t 如果粒子系统的能量不随时间变化而变化，我们可以分离变量 ,(x,y,z,t),,(x,y,z),f(t) 这时薛定谔方程简化公式为 2,,,2i,,,,，U,, ,tm2 ˆH,,E, 利用哈密顿算子简计为 panr小结： 1)薛定谔方程的导出过程是对通过德布罗意方程进行了求偏微分后，利用了一 次能量－动量公式。 在德布罗意方程中，由平面简谐波方程导出三维波方程的过程中，已蕴涵能 量－动量公式。所以只要德布罗意方程适宜于描述微观物质状态，那么薛定 谔方程就是正确的。 2)所谓波动性就是在时间及空间的分布上呈现周期性。并没有任何证据证明物 质波一定呈现为简谐波，我想德布罗意之所以选用这个方程式，只是因为简 谐波是周期性的数学结构中最为简单和谐的一个。 3) 动量的模的公式在形式上是内积的形式，所以波动方程解空间必定是希尔 伯特空间类型的数学结构。希尔伯特空间是包含两个要素：各维度正交及内 积的形式。 多维正交空间是人脑无法直接想象的，对人脑而言，薛定谔方程就是一个微 分方程，解答他的唯一途径就是转换成形式后查公式。 题： 环境中势场分布如图中红线，粒子能量为E，求粒子的波的分布函数。 解： 势场能量方程为分段函数，如下 Ux,x,,a()0, , Ux,U,a,x,a(),o ,Ux,x,a()0, 薛定谔方程为 2mE,,，,,0'',pp2,x,,a,2m,''，E,U,,a,x,a,(,)0,QoQ2, ,x,a2mE'',,，,,0sS2,,, 2m(U,E)2mE'o,k,i,k,22,记 ，由配分离变, 量后可的薛定谔方程的解为 ''ikx',ikx,,,Ae，Aex,,ap,,,,x',x,,，,,,BeBeaxa,Q ''ikx',ikx,,xa,，,CeCeS, 为了保证x趋于负无穷时P段函数积分有限，要求A'=0；为了保证x趋 于正无穷时S段函数有限，要求C=0 再根据边界条件 P(-a)=Q(-a)展开实部和虚部，得 ,,''ika',ika,a'a，,，AeAeBeBe '',,',ika'ika,a'a,,,,,ik(AeAe)(BeBe) ,,ii,,,,(，ik')a(ik,)a，,(1)e(1)e,,AB,,,,1k'k',,,,,,,',,,,,,iiA,(,ik')a,(,,ik)aB'2,,,,,,,，(1)e(1)e,, k'k',, 同理展开S(a)=Q(a)可得 ,,'ika,a'aCeBeBe,， ',,,'ika,a'aikCeBeBe,,(，) k',,,(ik'，)ae(1，),,B,,1,i,,,,C,,,k'B(ik',,)a'2,,,,e(1),,, i,,, panr小结 1) 根据传统物理，当E小于U0时候，当电子试图进入势垒区所有能量就支 付势能而耗尽，于是电子是不可能进入势垒区的。 2) 根据量子力学这个计算的结果，波的分布在概率上是横跨/可以穿透势垒区 的。量子力学中将A’/A的模称为势垒反射系数；将C/A的模称为穿透系 数。 stern-gerlach史特恩-革拉赫实验中使用了如下图的装置，实验观察到一束银粒 子穿越不均匀磁场后按照一定的规律偏移了直线轨道，最后在屏幕上观察到 的是一个纺锤形的轮廓线。 Z轴上的磁场方向一直是竖直向下(只在强度上有所变化)，所以这个维度上银粒子运动过程相对其它的银粒子容易(其他的银粒子经历的磁场的方向和 强度都在变化)。 粒子的能量/势能与Z轴上的磁场强度及本身电量有关，可得在Z方向上受到了力的作用如下 ,HF,,, e,z 根据粒子轨迹计算其所受到的偏转力，然后测量磁场强度变化后，可得上式 中的偏转力系数。 ,,eh/4,mee 这种偏转是存在的，这种新的运动状态被物理学家们称为自旋运动。但是xyz 空间轨道的波方程只有三个自由度，主量子、角量子、磁量子三个分量已经 求解出了这三个自由度，用德布罗意方程无法解释这种偏转，所以，只有修 改量子波方程以接受自旋运动。 ,E,H,EF,,,,,,薛定谔方程可知，那么可以得，考察这个公式和偏e,z,z,z转力系数，发现在形式上和轨道角动量很类似。自旋运动采用轨道角动量方 程的数学算符，且本征值只能取两个。物理学家们给出的自旋算符如下： ::: ,,[S,S]i,Sxyz:::, ,[S,S]i,S,yzx::: ,,[S,S]i,Szxy, ::::::222[S,S],[S,S],[S,S],0 xyy , SSS,,,,xyz 2 可以解得自旋算符的本征值为 322222S,S，S，S，,xyz 4 所以自旋角动量方程为 2, M,s(s，1)s 2, 在外磁场上的分量为 , ,mMszs 2, 1m,,s 2 考虑到自旋运动做为粒子的一种运动必须被集成到粒子波方程中。自旋算符 是独立于轨道部分推导的，所以波函数也只能表达为轨道方程和自旋方程的 直积。语义就是，两者在数学结论上相关，但是在数学结构上不相关。 自旋运动类似于负数平面中的虚轴，它涉及的的能量是很小的，但是确实使 粒子总能量增加或者减少了一个数值，于是电子的能级会裂变为相距甚微的 若干条能级。H氢的2P轨道如下图： 不考虑自旋运动时计算所得的H原子的电子跃迁，应该激发出82259埃的光子，但是实际上，被激发出的光子有两种波长：82259.27埃和82258.91埃。 panr小结： 1) 普郎克为了解释黑体辐射的谱线分布提出了能量值的离散跃变的设想，德 布罗意将之推广到所有的物质，于是有了德布罗意方程和薛定谔方程。我 们才得以能够通过主量子数m、角量子数l、磁量子数s研究粒子状态。 2) Stern-Gerlach实验发现了轨道波方程所无法解释的粒子偏移现象后， Uhlenbeck和Grudsmit在1925年修正了德布罗意方程提出自旋SPIN波方 程，于是我们又在主角磁的框架基础上，又增加了谱线的精细结构。 现在的波动方程除了轨道波方程和SPIN波方程外，还有COLOR波方程和 FLAVOR波方程 4) 理论物理学任务是用数学解释物理现象。其发展的直接动力是高能粒子实3) 验，并通过实验发现新现象后对方程做出修订以解释之。只有在把粒子加 速到大统一的能量级别并广泛做实验后，才能说我们完成了对方程式的最 后修改。(现在的实验中粒子能量是200吉电子伏，大统一的能量则至少是 千万吉，或者大统一只是臆想中的极限性的目标) 5) 爱因斯坦反对“不确定性”理念是有道理的。逻辑上说，不确定性可能是 由于粒子的内部结构导致的，那么物理实验中粒子的能量级别是我们认识 世界的唯一限制。