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!图书在版编目!!"#"数据
!多功能题典!高中数学竞赛!单墫"熊斌主编!#上海$华东师范大学出版社"!"#$!$
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!!!"多%!#!"单%$熊%!%!"中学数学课高中 习题集!&!"&)$*
!中国版本图书馆'"(数据核字&!"#$'第"($*$(号
多功能题典#高中数学竞赛!第三版"
主!!编!单!墫!熊!斌总 策 划!倪!明项目编辑!孔令志审读编辑!韩朝辉装帧
!黄惠敏
出版发行!华东师范大学出版社社!!址!上海市中山北路!""!号!邮编#$$$"#网!!址!%%%&'()*+,'--&(./&()电!!话!$#0 "$1#0"""!行政传真$#0 "#23#0$2客服电话!$#0 "#1"22!3!门市!邮购" 电话$#0 "#1"4113地!!址!上海市中山北路!""!号华东师范大学校内先锋路口网!!店!566+#$$57-7(8-&6/9::&(./
印 刷 者!浙江省临安市曙光印务有限公司开!!本!313;0$4#!0"开印!!张!?@431 3 2"32 $<33 "$A%"!$#定!!价!"1&$$元
出 版 人!朱杰人
&如发现本版图书有印订质量问题"请寄回本社客服中心调换或电话"!# )!')(($&联系'
!!致读者
!!自)**+年面市以来!"多功能题典#越来越受到读者的肯定!题典家族也在不停地增添新丁!
目前!题典家族已有,-个成员!涵盖中
的主要学科!为了答谢读者的厚爱!)*,.年"多功能题
典#进行了全新修订!初中各学科根据最新修订后的课标编写!高中各学科增录了近年大学自主
招生试题!同时该套书更换了较大的开本!读者使用起来将更加方便!另外!优化了网络检索功
能!更能满足/ 学习的高效率!当您进入题典的网络检索系统时!相信您一定会有新的收获!
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作者权威!题典家族的编写队伍由各学科考试命题的专家$学者与长期在教学第一线的资
深特$高级教师组成!他们各取所长$各展所能!把自己长期积累$精心筛选的新颖而规范的经典
试题奉献出来!共同打造出这一套高品质的丛书!
题目典范!题典家族不受教材版本限制!按各学科知识内容编排!不仅与教学要求相对应!
更体现了学科知识的完整性$系统性和科学性!书中每一道试题的编制和确定都经过了多道关
卡!从作者编选$教学使用到主编总纂$编辑审读!再到专家审定!每一个环节都精益求精!从而确
保题题经典!
体例新颖!题典家族不仅为每一道题提供了精妙的%题解&!更积极引导读者%解题&!注重方
法$思路的点拨!还为每一道题标出了难度星级!使读者学有所思$学有所得!不仅能举一反三!更
能了解自己的学习水平!把握学习方向!
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行组合检索!就像使用&;;=>/和百度一样方便!
题典家族立意新颖!篇幅较大!难免有疏漏之处!敬请不吝指正!
华东师范大学出版社
教辅分社
!!再版前言
!!)**?年@月本书第一版出版!获得了广大学生$教师和家长的好评!读者的总体评价大致如
下(题目丰富!类型多+难度分类细!针对性强!对数学竞赛和自主招生都有一定的帮助!读者的好
评!是对编者最好的肯定和鼓励!为使本书更完善!也为了更好地回报广大读者的厚爱!编者完成
了对本书的修订!
此次修订!在保留原有体例$编排的基础上!增加了近几年典型的新赛题!改写了一些问题的
解法!订正了一些错误!同时删去了一些较偏较难的题目!
新版采用新的开本和排版方式!以使读者更为方便地阅读!衷心希望各种不同层次和需求的
读者可以在这本题典中获益!
单!墫!熊!斌
)*,.年A月)*日
!!前!言
!!华东师范大学出版社的数学奥林匹克小丛书'蓝本书*!又添了一个新丁,,,"多功能题典-
高中数学竞赛#!
各种数学竞赛!年复一年地进行!参与的人越来越多!已经成为全民性的健脑活动!竞赛题成
千上万!纷至沓来!于是!竞赛题典也就自然地应运'适应需要*而生!
编题典!有两种不同的方针!
一种是求全!希望能将所有出现过的竞赛题全部搜罗进来!一网打尽!但这样做!篇幅势必非
常巨大!至少是这部题典的五六倍!其中大同小异的题将相当的多!而遗漏又很难避免!何况!新
题不断出现!%全&又很快变为不全!与其花大力气编这样的书!不如做成光盘或利用网络更为
合适!
我们采取另一种方针!即求精!在众多的赛题中精选出一部分%好题&!一道题被选中!原因不
尽相同!或可作典型!或非常独特+或有深刻的背景!或解法值得留意+或为原创而饶有新意!或可
作推广至一般情形+..读者由这些题!举一反三!可以收到更多的益处!
有不少题的解!是我们自己的解法!如!将 '!"#$*'!"%)#$*#'!"%,#$*)作为$的一次函数!
很容易得出它在区间/*!!"B)0上恒为负!又如!采用向量!立即得出单位向量
"##&'$ "##&($ "##&)的和
为零!从而两两的夹角为,)**!这些都比常见的%
&解法简明!
书中所需知识与使用的符号!可在书末附录中查到!
为适应不同的需要!我们将题目的难度分为四级!一个星的比较容易!四个星的最难!一$二$
三$四个星的比!大致为,CACAC,!
代数部分由熊斌$冯志刚$刘诗雄编写!几何部分由田廷彦$刘诗雄$万军编写!组合部分由张
思汇$熊斌编写!数论部分由单墫$王巧林编写!
希望使用本题典的读者!能用较少的时间!取得较好的效果!希望这本题典能对数学竞赛的
发展!起一些推进作用!
单!墫
)**?年@月
目!录
第一篇!代数第 1章!集合与函数 #…………………………1+1!集合的概念与运算 #……………………1+2!映射与函数 !………………………………1+3!二次函数 *…………………………………1+4!幂函数(指数函数与对数函数 )………1+5!函数的最大值与最小值 '………………1+6!函数迭代与函数方程 ##…………………第 2章!三角函数 #)……………………………2+1!三角函数 #)………………………………2+2!三角方程与三角不等式 !(………………2+3!解三角形 *!………………………………第 3章!数列 ("…………………………………3+1!等差数列与等比数列 ("…………………3+2!递推数列 (*………………………………3+3!数列综合题 )$……………………………第 4章!不等式 &&………………………………4+1!不等式的解法 &&…………………………4+2!平均不等式 '#……………………………4+3!柯西不等式 %$……………………………4+4!排序不等式 #"*……………………………4+5!含参数的不等式 #"'………………………4+6!不等式综合问题 ##*………………………第 5章!复数 #$!………………………………5+1!复数的概念与运算 #$!…………………5+2!复数与方程 #$&……………………………5+3!复数与几何 #$%……………………………第 6章!多项式 #*(……………………………6+1!一元多项式的概念与基本性质 #*(……6+2!多项式的根及其应用 #*'………………6+3!整系数多项式 #(!…………………………6+4!不可约多项式 #()…………………………
第二篇!几何第 7章!直线形综合题 #)"……………………第 8章!圆 #)&……………………………………8+1!圆的一般问题 #)&…………………………
8+2!圆的幂(根轴(极点极线与调和点列 #&&……………………………………8+3!圆与切线 #'#………………………………8+4!多圆问题 #''………………………………第 9章!相似&位似'变换与反演变换 #%)…第 10章!平面几何问题的非纯几何解法 !"!…10+1!三角方法 !"!……………………………10+2!向量方法 !#'……………………………10+3!复数方法 !!)……………………………第 11章!几何不等式与几何极值 !$'………第 12章!立体几何 !("…………………………12+1!直线与平面 !("…………………………12+2!棱柱(棱锥与棱台 !($…………………12+3!旋转体 !)(………………………………12+4!轨迹与多面体 !&!………………………第 13章!解析几何 !&)…………………………13+1!坐标法 !&)………………………………13+2!直线方程 !'(……………………………13+3!圆 !%(………………………………………13+4!椭圆 $"&……………………………………13+5!双曲线 $!!………………………………13+6!抛物线 $$#………………………………13+7!参数方程与极坐标 $*(…………………
第三篇!数论第 14章!数的整除性 $)"………………………14+1!整除 $)"……………………………………14+2!互质 $&(……………………………………14+3!因数与倍数 $&&…………………………14+4!质数与合数 $')…………………………14+5!其他 $%)……………………………………第 15章!同余 *"*………………………………第 16章!数字问题 *"%…………………………16+1!数字和 *"%………………………………16+2!数字 *#!……………………………………第 17章!数论函数 *!$…………………………
#&!#!)"*与+", *!$……………………………17!2!其他数论函数 *$"………………………第 18章!不定方程 *$*…………………………18!1!分式方程 *$*……………………………
18!2!方程组 *$'………………………………18!3!整式方程 **#……………………………18!4!指数方程 *(*……………………………18!5!含- 的方程 *)"…………………………18!6!其他方程 *)!……………………………第 19章!杂题 *)$………………………………19!1!平方数 *)$………………………………19!2!分数(小数(无理数 *)%…………………19!3!等差数列 *&%……………………………19!4!数列 *'!……………………………………19!5!多项式(函数 *'*…………………………19!6!集合 *''……………………………………19!7!
示 *%$……………………………………
第四篇!组合第 20章!集合与子集族 ("*…………………20!1!子集族 ("*………………………………20!2!集合的划分 ("(…………………………20!3!集合综合问题 (")………………………第 21章!组合计数 (#$…………………………21!1!对应法 (#$………………………………21!2!递推法 (#)………………………………21!3!容斥原理及其他方法 (!"………………第 22章!图论 (!(………………………………22!1!图论问题 (!(……………………………22!2!图论方法 (!)……………………………第 23章!染色问题 ($*…………………………23!1!染色问题 ($*……………………………23!2!染色方法 ($%……………………………
第 24章!组合最值问题 (*(…………………24!1!不等式估计 (*(…………………………24!2!平均值原理 (*)…………………………24!3!其他估计方法 (*'………………………第 25章!母函数与组合恒等式 (((…………25!1!母函数方法 (((…………………………25!2!组合恒等式 ((&…………………………第 26章!操作与博弈 ()"………………………26!1!操作问题 ()"……………………………26!2!博弈问题 ()(……………………………第 27章!组合构造 (&"…………………………27!1!存在性问题 (&"…………………………27!2!构造方法 (&*……………………………第 28章!组合几何 (&%…………………………28!1!常用方法 (&%……………………………28!2!极值问题 (%(……………………………第 29章!组合方法 )"$…………………………29!1!数学归纳法 )"$…………………………29!2!算两次 )"&………………………………29!3!抽屉原理与极端原理 )#"………………
附录有关的重要定理(公式与概念 )#*……………
代数 )#*………………………………………
几何 )#)………………………………………
初等数论 )!!…………………………………
组合 )!$………………………………………
功能检索表 )!*……………………………………
书书书
第一篇!代!!数
第 1章 集合与函数
!"!!集合的概念与运算
!#!#! !" 设集合!"!#!"#""##"#$#"若!中所
有三元子集的三个元素之和组成的集合为$ "
!%!"#"%""求集合!&
解析!显然"在!的所有三元子集中"每个元素均出
现了#次"所以
#$#!'#"'##'#$%"$%!%'#'%'&"!%"
故#!'#"'##'#$"%"于是集合!的四个元素分
别为
%%$%!%"'"%%#"""%%%"("%%&"%#"
因此"集合!"!%#"("""'#&
!#!#$ !"" 设集合( !" ))"#
!(($
*"!
+"*%!+"*"这里
+!"+""&"+"((&$!槡"%!"槡"'!##&问(中的不
同整数共有多少个'
解析!由条件可知+"*%!+"* $ !$槡"%!%""$槡"%
!%$槡"'!%"$槡"'!%"#"!#%"槡""!"#'"槡"#"
设使得+"*%!+"* "#%"槡""!和#'"槡"的下标*的
个数分别为#(,(-"则)"$#%"槡"%#','$#'
"槡"%-"且#','-"!(($&这里)$!的充要条件是
#"-"转为求满足"#',"!(($的非负整数解的组
数可取("!"&"%("&所以"(中的不同整数共
有%(#个&
!#!#% !"" 一个$元实数集合(的所有子集的元
素和的总和等于"((&$这里空集的元素和认为是
(%&求(的所有元素的和&
解析!设("!#","-".#"则$#','-'.%/"#"
"((&$因为(中的每个元素恰在(的"#个子集中出
现%"故#','-'.""%!&所求的答案为"%!&
!#!#& !" 已知元素$!""%$!%$"这里!"!$+"
)%0#+%)"',"(#"$"!$+")%0+"%#)%,"
(#&求#",的值&
解析!由条件可知 #)!%""',"("
!"%#)"%,"(! "解得#"
%#",")&
!#!#' !"" 已知集合!"!$+")%0)"#+'"#"
$"!$+")%0)"0+'!0#"且!%$是一个单元
集&求#的取值范围&
解析!作出函数)"
+'! 的图象"然后
讨论直线)"#+'"
的位置&利用图象可
知*当#&!时"!%
$是单元集+当%!'
#'!时"!%$是二
元集+当#(%!时"
!%$也是单元集&
所求#的取值范围是$*+"*!,)-!",+%&
!#!#( !"" 已知集合 ! !" $+")%)%#+%" "
#' #! "$"!$+")%0$#"%!%+'$#%!%)"!%#&
问*实数#为何值时"!%$"*'
解析!当#"!时"$"*"符合要求&当#+!时"
集合!表示直线)"$#'!%+%"#'!$++"%"而
$表示直线)"%$#'!%+' !%#%!&由!%$"*"
知这两条直线平行"或交于一点1使1的横坐标为
+""&前者要求#'!"%$#'!%且%"#'!+
!%
#%!
"后者要求"$#'!%%"#'!"%"$#'!%'
!%
#%!
&分别求解可得#"%!或#$ %""! #*$ &于
是"当#$ *!"*$"!"%! #" 时"!%$"*&
!#!#) !"" 已知集合!"!$+")%0#+')"!#"
$"!$+")%0+'#)"!#"2"!$+")%0+"')""
!#&问*
$!%当实数#为何值时"$!)$%%2是一个"元集'
$"%当实数#为何值时"$!)$%%2是一个#元集'
解析!显然$("!%$!%2"$!"(%$$%2"所以"
$("!%"$!"(%$$!)$%%2&
$!%#"(时"直线#+')"!与+'#)"!均
与圆+"')""!相切"
$!)$%%2"!$("!%"$!"(%#&
#"!时"直线#+')"!与+'#)"!重合"
"!!!!.多功能题典)高中数学竞赛-----------------------------------------------------------
即连结$("!%"$!"(%的直线"
$!)$%%2"!$("!%"$!"(%#&
#+("!时"直线#+')"!与圆+"')""!
有一个不同于$("!%"$!"(%的交点"
0$!)$%%20&
因此#"("!&
$"%这时#+("!"而且直线#+')"!与圆
+"')""!的另一个交点也是直线+'#)"!与圆
+"')""!的另一个交点"即这点是#+')"!与
+'#)"!的交点"从而+")" !#'!"代入+"'
)""!得+")"3 !槡""#"%!3槡"&
!#!#* !"" 设集合!"$"4满足*!%4"$%4"
!%$"!)$)4"!)$&证明*4"!%$&
解析!!%$"!%4,4&另一方面"4,!)
$)4"!)$"故对4中的任意元素+"都有+$
!)$"即+$!或+$$&若+$!"则+$!%4"
!%$+若+$$"则+$$%4"!%$&所以"
总有+$!%$&从而"4,!%$&综合以上两方面
得4"!%$&
!#!#+ !""" 给定整数5"设!!"!""&"!"5是集
合!!"""&"5#的两两不同的非空子集"记!"5,!.
!!&求
#
"5
6"!
0!6%!6'!0
0!60)0!6'!0
的最大值&
解析!对任意的6$!(6("5%"如果0!6%!6'!0"
("则0!6%!6'!00!60)0!6'!0"(+以下假设0!6%!6'!0&!&
由于!6%!6'!,!6及!6%!6'!,!6'!"所以
0!6%!6'!0(/01$0!60"0!6'!0%&
又由于!6 +!6'! 及0!6 %!6'!0&!"所以
/23$0!60"0!6'!0%&"&
因此
#
"5
6"!
0!6%!6'!0
0!60)0!6'!0(#
"5
6"!
!
/23$0!60"0!6'!0%
(#
"5
6"!
!
" "5&
上式的等号可以取到"例如*!6 " !!#"!" " !!"
"#"&"!"6%!"!6#"!"6"!6"6'!#"&"!"5%!"
!5#"!"5 "!5"!#&
!#!#!,!""" 对于集合! " !#!"#""&"#7#"记
1$!%"#!#"&设!!"!""&"!5$5"455"(!(%是
集合!!"""&""(!(#的所有55元子集"求证*
"(!! #
5
6"!
1$!6%&
解析!对于集合!!"""&""(!(#的每个55元子集
!6"!#!"#""&"#55#"对应于集合!!"""&""(!(#
中唯一的55元子集$6"!,!",""&",55#"其中,*"
"(!!%#*"*"!"""&"55&
由于#
55
*"!
$#*',*%"55/"(!!"奇数"故集合
!6"$6是集合!!"""&""(!(#的两个不同的子集&
当!6通过集合!!"""&""(!(#的所有55元子集
时"$6也通过集合!!"""&""(!(#的所有55元子
集&而
!1$!6%'1$$6%
"#!#"7'$"(!!%#!%$"(!!%#"%&$"(!!%#55%
-#!#"7'$%#!%$%#"%&$%#55%
-($/67"(!!%"
于是
"#
5
6"!
1$!6%"#
5
6"!
1$!6%'#
5
6"!
1$$6%-($/67"(!!%"
所以"(!! #
5
6"!
1$!6%&
!"$!映射与函数
!#$#! !" 设!"!!"""#"7#"$"!$")"5$"5"'
#5#"对应法则8*#.,"9#':是从!到$的一
一映射&已知7"5为正整数"且!的像是$")的原
像是"&求9":"7"5的值&
解析!由条件可知 $"9)!':"
)"9)"':! "解得9"#":"
!&所以"8$+%"#+'!&结合8是!到$的一一映
射"可知
5$"#)#'!"
5"'#5"#7'! !或者 5
$"#7'!"
5"'#5"#)#'!! "
利用7"5$#/"可知只能是后一种情形"解得5"
""7"%&综上所述"$9":"7"5%"$#"!"%""%&
!#$#$ !" 设7"5$#/"7(5&集合!"!#!"&"
#7#"$"!,!"&",5#&
$!%求所有!到$的映射的个数+
$"%求所有!到$的单射的个数+
$#%是否存在!到$上的满射'
解析!$!%由于!中的每一个元素都有5个$中的
第!章!集合与函数!$!!!!!-------------------------------------------
元素可以作为它的像"所以"! 到$ 的映射共有
57 个&
$"%依次确定!中元素#!"&"#7 的像"方法数
分别为5"5%!"&"5%$7%!%&所以"!到$的单
射共有5$5%!%&$5%7'!%$"875%个&
$#%当5"7时"存在!到$上的满射"满射共
有5/ 个&而当507时"不存在!到$上的满射&
!#$#% !"" 设1"!505"5$#/#&函数8*1.
#/的定义如下*对5$1"8$5%是所有不是5的约数
的正整数中最小的数&求函数8的值域&
解析!函数8的值域; "!:0:$#/":为某个质
数的正整数次幂#&
一方面"设:$;"即存在5$1"使得!"""&"
:%!都是5的约数"但:5&若:不是某个质数的正
整数次幂"则可将:分解为两个互质的正整数:! 和
:"的积"这里"(:!':"':&这导致:!15":"15"
结合$:!":"%"!"就有:!:"15"即:15"矛盾&所以"
;中的数只能是某个质数的正整数次幂的形式&
另一方面"设:$#/":"9!"这里9为质数"
!$#/&并设9!"9""&"9*是所有小于9!的质数"
取!!"&"!*$#/"使得9!66 09!"!(6(*&令5"
9!!!&9!**)9!%!"则由8$5%的定义可知"8$5%"9!&
综上可知"8的值域即为;&
!#$#& !" 设#$0!%为常数"函数8$+%"#+%!
#+'!
"
+$%&!
$!%判断函数8$+%的奇偶性+
$"%证明*8$+%是%上的增函数+
$#%求8$+%的值域&
解析!$!%8$%+%"#%+%!
#%+'!
"
!%#+
!'#+
"%
#+%!
#+'!
"
%8$+%"所以"8$+%是奇函数&
$"%8$+%"!%
"
#+'!
!时"函数)"#+递
增" "
#+'!
递减"所以"8$+%是%上的增函数&
$#%利用#+ 0("可知#+'!0!"从而('
"
#+'!
'""故%!'!% "#+'!'!&所以"8$+%的
值域为$*!",+%&
!#$#' !" 函数8*%.%满足*对任意+")$%"都
有8$+')%"8$+%'8$)%&证明*8$+%为奇函数&
解析!条件式中取+")"("得8$(%""8$(%"
8$(%"(&再取)"%+"得8$(%"8$+%'8$%+%"
8$%+%"%8$+%&所以"8$+%为奇函数&
!#$#( !" 设8是定义在%上的函数&证明*8$+%
可以表示为%上的一个奇函数与一个偶函数之和&
解析!令<$+%" !"$8$+%'8$%+%%"=$+%"
!
"
$8$+%%8$%+%%"则<$%+%"<$+%"=$%+%"
%=$+%"且8$+%"<$+%'=$+%&
评注!解答中的<$+%与=$+%可以通过解下述方程
组得出&
8$+%"<$+%'=$+%"
8$%+%"<$%+%'=$%+%"<$+%%=$+%! &
!#$#) !" 已知函数8$+%"#+',-+'.的图象与它的
反函数的图象完全重合&问*这函数应具有何种形
式' 这里#(,(-(.为常数"并且#(-不同时为(&
解析!由)"#+',-+'.可得+ "
.)%,
%-)'#
&因此"
8$+%的反函数为8%!$+%" .+%,
%-+'#
&由条件可知
#+',
-+'.
"
.+%,
%-+'#
"即
$-.'#-%+"'$."%#"%+%,$#'.%"(&
上式左边应为一个零多项式"即-$#'.%"."%
#""%,$#'.%"("这表明#'."(或者#"
.$+(%且,"-"(&所以"8$+%"#+',-+%#或者
8$+%"+&
!#$#* !" 是否存在单射8*%.%"使得对任意+$
%"都有8$+"%%8"$+%& !$'
解析!若存在满足条件的单射"则令+"(和!"得
8$(%%8"$(%&
!
$
"
8$!%%8"$!%&
!
$
2
3
4 "
于是 8$(%%!$ %"
"
(("
8$!%%
!$ %"
"
((&故8$(%"8$!%" !""这与8
为单射矛盾&所以"不存在符合要求的单射&
!#$#+ !" 奇函数8$+%在定义域$*!"!%内是递增
的&已知8$!%7%'8$7"%!%'("求实数7的取
值范围&
解析!由条件知8$!%7%'%8$7"%!%"8$!%7"%&
所以"7应同时满足条件
%!'!%7'!"
%!'!%7"'!"
!%7'!%7"
2
3
4 "
解得
&!!!!.多功能题典)高中数学竞赛-----------------------------------------------------------
('7'!&!
!#$#!,!""" 已知8$+%(<$+%是定义在%上递增的
一次函数"8$+%为整数当且仅当<$+%为整数&证明*
对一切+$%"8$+%%<$+%为整数&
解析!设8$+%"#+',"<$+%"-+'."#0("
-0(&我们先证明#"-&若不然"由对称性不妨设
#0-&!
当+"%,# 时"8$+%"("因此< %,$ %# 是整
数+当+"%,%!# 时"8$+%"!"因此< %,%!$ %# 是
整数&故
!< %,$ %# %< %,%!$ %#
" -) %,$ %# '$ %. % -) %,%!$ %# '$ %.
"%-#
是一个整数"但这与#0-0(矛盾&
因此#"-&又当+"%,# 时"8$+%"("因此
< %,$ %# ".%,是整数"在此对任意的+$%"
8$+%%<$+%",%.是整数&
!"%!二次函数
!&%&! !" 设8$+%是一个二次函数"函数<$+%满
足*<$+%""+8$+%"<$+'!%%<$+%""+'!)+""
+$%&求<$+%的表达式&
解析!设8$+%"#+"',+'-$#","-$%"#+(%&
于是
!"+'!$#$+'!%"',$+'!%'-%%"+$#+"',+'-%
""+'!)+""
所以"对任意+$%"都有
"#$+'!%"'",$+'!%'"-%#+"%,+%-""+""
即
#+"'$$#',%+'"#'-""+""
对比两边+各次项的系数可得*#""","%&"
-"%$"从而
<$+%""+'!$+"%$+%"%&
!&%&$ !" 设#(,为实常数"已知对任意>$%"关于
+的二次函数)"$>"'>'!%+"%"$#'>%"+'>"'
##>',图象恒过点$!"(%&求#(,的值&
解析!依题意"可得 $>"'>'!%%"$#'>%"'>"'
##>',"("对任意实数>恒成立&因此左边是关于>
的零多项式"所以 !%$#'##"("
!%"#"',"(! "解得 #"!
"
,"!! &
!&%&% !" 函数8$+%")+"%$*'!#%+'*"%*%
"&问*
$!%*为何值时"方程8$+%"(的两个根分别落在区
间$("!%和$!""%内'
$"%*为何值时"不等式8$+%'(的解集包含区间
$(""%'
解析!$!%由于二次函数)"8$+%的二次项系数大
于零"开口向上"因此"条件等价于
8$(%0("
8$!%'("
8$"%0(
2
3
4 "
即有
*"%*%"0("
*"%"*%&'("
*"%#*0(
2
3
4 "
解得%"'*'%!或者#'*'$&
$"%利用二次函数的性质"可知条件等价于
8$(%(("
8$"%((! "即有 *
"%*%"(("
*"%#*((! " 解得((*("&
!&%&& !"" 求所有的实数#"使得对任意实数+"函
数8$+%"+"%"+% +%!%# % +%" '$的值
都是非负实数&
解析!由条件知 8$(%"% !'# '"&("
8$!%"% # '"&(! " 解得
%"(#(!&
下面证明*当%"(#(!时"对任意+$%"都
有8$+%&(&
事实上"记>"+%!"则
8$+%">"% >%# % >%! '#&
记<$>%">"'#% >%# % >%! &
当>(#时"<$>%">"'#%$#%>%%$!%>%"
>"'">'"%#"$>'!%"'$!%#%&(+
当#(>(!时"<$>%">"'#%$>%#%%$!%
>%">"'"'#"结合#&%"知<$>%&(+
当>&!时"<$>%">"'#%$>%#%%$>%!%"
>"%">'$'#"$>%!%"'#'#'#&!&
所以"当%"(#(!"总有8$+%&(&
满足条件的#构成的集合为!#0%"(#(!#&
!&%&' !"" 设实数#(,(-(7满足条件*
$!%#(7都为正实数+
$"% #
7'"
'
,
7'!
'
-
7 "
(&
求证*方程#+"',+'-"(有一个根属于区间
$("!%&!
第!章!集合与函数!'!!!!!-------------------------------------------
解析!记8$+%"#+"',+'-"则由条件可知
8
7
7'$ %! "# 77'$ %!
"
',
7
7'$ %! '-
"#
7
7'$ %!
"
%
#7
7'"
"%
#7
$7'!%"$7'"%
'(&
另一方面"若-0("则8$(%"-0(+若-(("
则
8$!%"#','-
"
#
7'"
'$7'!%
#
7'"
'
,
7'!
'
-$ %7 %-7
"
#
7'"
%
-
7 0
(&
所以"总有8$(%8 77'$ %! '(或8 77'$ %!8$!%'
(&从而"方程总有一个根属于 (" 77'$ %! 或
7
7'!
"$ %! "命题成立&
!&%&( !"" 设#(,为实数"而方程+"'#+',"(
有两个实根&证明*存在整数5"使得
5"'#5', (/23
!
$
"!
"
#"%$槡! #, &
解析!记8$+%"+"'#+',"$+%"%$+%#%"这
里"是方程的两个实根&易知 #"%$槡 ,""%#&如果"(#中有一个为整数"不妨设"$!"则令
5"""就有 8$5%"("命题显然成立&如果"(#都不为整数"取7$!"使得7'"'
7'!&分两种情形讨论*
$!%若7'#"则
! 8$7%8$7'!%
" $7%"%$7'!%"%$7%#%$7'!%#%
"$"%7%$7'!%"%$#%7%$7'!%#%
(
$"%7%'$7'!%"%$ %"
" $#%7%'$7'!%#%$ %"
"
"$ %!$
"
&
所以"8$7%与 8$7'!% 中有一个不大于!$&
$"%若#'7则
! 8$7%8$7'!%
"$"%7%$7'!%"%$7%#%$7'!%#%
(
!
$
$$"%7%$7'!%#%'$7'!%"%$7%#%%"
"
!
$
$"%#%"&
所以" 8$7% 与 8$7'!% 中有一个不大于
!
"
#"%$槡 ,&
!&%&) !"" 设二次函数8$+%"#+"',+'-$#","
-$%"#+(%满足条件*
$!%当+$%时"8$+%$%"8$"%+%"且8$+%&++
$"%当+$$(""%时"8$+%( +'!$ %"
"
+
$#%8$+%在%上的最小值为(&
!!求最大的7$7 0!%"使得存在>$%"只要
+$-!"7,"就有8$+'>%(+&
解析!因为8$+%$%"8$"%+%"+$%"可知二次函
数8$+%的对称轴为+"%!&由$#%知8$+%的开口
向上"即#0("于是有8$+%"#$+'!%"$#0(%&
由$!%得8$!%&!"由$"%得8$!%( !'!$ %"
"
"
!"从而8$!%"!"即#$!'!%""!&所以#" !$"
8$+%"
!
$
$+'!%"&
因为抛物线8$+%" !$$+'!%" 的图象开口向
上"而)"8$+'>%的图象是由)"8$+%的图象平
移>个单位得到&要在-!"7,上")"8$+'>%的图
象在)"+的图象下方"且7最大"则!和7应当是
关于+的方程 !
$
$+'>'!%""+&!的两个根&将
+"!代入方程!"得>"(或>"%$&
当>"(时"代入!"得+!"+""!$这与70
!矛盾/%+
当>"%$时"代入!"得+!"!"+""5"所以
7"5&!
又当>"%$时"对任意+$-!"5,"恒有$+%
!%$+%5%(("于是!$$+%$'!%"(+"即
8$+%$%(+&
所以"7的最大值为5&
!&%&* !"" 设5是不小于#的正整数"5个实数
+!"&"+5具有如下性质*对任意一个二次函数)"
(!!!!.多功能题典)高中数学竞赛-----------------------------------------------------------
8$+%"数8$+!%"&"8$+5%中至少有三个数相同&证
明*+!"&"+5中至少有三个数相同&
解析!取一个二次函数8$+%"$+%7%""这里7$
%"使得7'/01!+!"&"+5#&由于函数)"8$+%
在对称轴的右边单调递增"因此若?"@07"且
8$?%"8$@%"则有?"@&注意到"+!"&"+507"
且8$+!%"&"8$+7%中有至少三个数相同"从而"
+!"&"+5中也至少有三个数相同&
!&%&+ !"" 已知#(,(-(.(A都为实数"且方程
#+"'$-%,%+'A%."($#+(%有一个大于!的
实根&证明*方程#+$',+#'-+"'.+'A"(至少
有两个实根&
解析!记8$+%"#+$',+#'-+"'.+'A"则
8$+%"#+$'$-%,%+"'$A%.%',+#'
!,+"'.+'.
"<$+"%'$,+"'.%$+'!%& !
这里<$+%"#+"'$-%,%+'A%.&
由条件"知存在"0!"使得<$"%"("结合!式可知
8$%槡"%8$槡"%"$,"'.%"$!%槡"%$!'槡"%
"$,"'.%"$!%"%((&
这表明8$*槡"%与8$槡"%不同为正数也不同为负数&
所以"8$+%"(有一个根属于-*槡""槡",&设
8$+%"$+%#%=$+%"#$-*槡""槡","则=$+%是一个三次多项式"=$+%至少有一个实根&
综上可知"8$+%"(至少有两个实根"命题
获证&
!&%&!,!""" 实系数二次函数8$+%和<$+%满足*对
任意正实数+"若<$+%为整数"则8$+%也为整数&证
明*存在整数7(5"使得
8$+%"7<$+%'5&
解析!设8$+%"#+"',+'-"<$+%"9+"':+'
B"这里#","-"9":"B$%"且#+("9+(&
不妨设90($否则用*<$+%代替<$+%讨论%"
进一步"还可设:"("否则作代换+.+%:"9即可
转为:"(的情形&
现在对任意*$#/"*0B"令>" *%B槡9 "则
<$>%"*$!"从而"有
8$>%"
#$*%B%
9
',>'-$!&
注意到"上式对任意*$#/$*0B%成立"故
8 ! *'!%B槡$ %9 %8 ! *%B槡$ %9 $!&
于是"对任意*$#/$*0B%"都有
,
槡9 )
!
*'!%槡 B' *%槡 B '
#
9
$!& !
令*.,+"可知#
9
$!&进一步"还应有,"("否
则取*充分大"使
,
槡9 )
!
*'!%槡 B' *%槡 B $$("!%"
则结论!不成立&
现在令7 " #
9
"5"-%7B"就有8$+%"
7<$+%'5"这里7$!&再由<$>%与8$>%都为整数
知5$!&!
综上可知"存在7"5$!"使得8$+%"7<$+%'5&
!"&!幂函数"指数函数与对数函数
!#! !" 设#是一个不等于!的正实数&函数8$+%
满足*8$#+%"+&求8$!%和8$"%的值&
解析!在条件式中分别令+"(和+"96:#""得
8$!%"("8$"%"96:#"&
!#$ !" 函数8$+%满足*对任意+")$%"都有
8$+)%"8$+%'8$)% !
且8$"%"!&求8 !$ %'$ 的值&
解析!在!中令+")"!"可知8$!%""8$!%"
8$!%"(&令)"!+"可知8$!%"8$+%'8
!$ %+ "
所以"当++(时"有8$+%"%8 !$ %+ &从而"
8
!$ %'$ "%8$'$%&在!中依次令$+")%"$"""%"
$""$%"$&"&%可知8$$%""8$"%"""8$&%"
8$$%'8$"%"#"8$'$%""8$&%"'&所以"
8
!$ %'$ "%'&
!#% !" 已知实数#(+()满足*
!+ #$+%#槡 %') #$)%#槡 %
" 9:$+%#%%9:$#%)槡 % &
求代数式#+"'+)%)"
+"%+)')"
的值&
第!章!集合与函数!)!!!!!-------------------------------------------
解析!由等式中的各式有意义可知
#$+%#%&("
#$)%#%&("
+%#0("
#%)0(
2
3
4 "
!
"
#
$
由#知+0#"结合!可知#&(+由$知)'#"
结合"可知#((&所以"#"("这样"条件式变为
9:+%9:$%)槡 % "(&于是"+"%)"
#+"'+)%)"
+"%+)')"
"
#+"%+"%+"
+"'+"'+"
"
!
#
&
!#& !" 已知函数8$+%"96:!
"
#"'槡 !%#$ %#
+
是%上的减函数&求实数#的取值范围&
解析!8$+%为%上的减函数"所以" #"'槡 !%## 0!&
由于 #"'槡 !%#0 # %#&("故#0(&于
是 #"'槡 !%#0#"即有#"'!0$#""得#"'!#&
结合#0("可知('#'槡##&
!#' !" 设
8$+%"96:$# +"%$7+'$7"'7' !7% %! &
$!%求所有的实数7"使得8$+%的定义域为全体
实数&
$"%记满足$!%的实数7构成的集合为;&证明*对
任意7$;"都有下述性质*对任意+$%"函
数值8$+%&!&
解析!$!%注意到"8$+%的定义域为%的充要条件
是*对任意+$%"都有
+"%$7+'$7"'7' !7%!0
(&
即$+%"7%"'7' !7%!0(&这等价于7'
!
7%!0
(&解这不等式得70!&
$"%对任意7$;"
!+"%$7+'$7"'7' !7%!
"$+%"7%"'7%!' !7%!
'!!
&$7%!%'
!
$7%!%
'!&"'!"#"
所以"8$+%&96:##"!&
!#( !"" 设('#'!"函数8$>%满足*对任意
+0("都有8$96:#+%"#$+"%!%+$#"%!%"而7050(&
试比较8 !$ %7 与8 !$ %5 的大小&
解析!记>"96:#+"则对任意>$%"都有
8$>%"
#$#">%!%
#>$#"%!%
"
#
!%#"
!
#>
%#$ %> &
由于('#'!"#>是%上的减函数"所以!#>"*#>
都是增函数"8$>%是$(",+%上的增函数&所以
8
!$ %5 08 !$ %7 &
!#) !"" 求和数
("-9:",'-9:#,'&'-9:"((&,!!!
!' 9:
!- ," ' 9:!- ,# '&' 9: !- ,"((&
的值&这里-+,表示不超过+的最大整数&
解析!注意到"对任意实数+"有
-+,'-%+,"
(" +$!"
%!"+5!! &
而对7$!""#"&""((仅有7"!("!(("!(((
时"9:7$!"所以"
("#
"((&
7""
-9:7,' 9:
!- ,$ %7 !!!
"#
"((&
7""
$-9:7,'-%9:7,%"%"(($&
因此"所求和数的值为*"(($&
!#* !"" 求所有的实数+()"使得
!
$+
'
!
"))
"
%
'
"
96:"))%96:$+&
!
'
"
"))%$+(!
2
3
4 &
!
!
!
!
!
"
!#
解析!由"知+()都是正实数&为方便起见"记")) "
#"$+",&由#知#(,'!"结合!式可知 !,'!'
!
, (
!
#'
!
, "
%
'
"于是"%,$,'!%&'$",'!%"
解得,&"或,(%#%"但,"$+0("所以",&""
从而"+&!"&现在由"可知96:"))&!''96:$+&
*!!!!.多功能题典)高中数学竞赛-----------------------------------------------------------
!
'
'96:$
!
"
"
!
'
%
!
"
"%
!
#
&所以") &
")
%!# "
!
#
&
回到!式"得 %'"$%+'")%)($%
!
" '")%
!
#
"
!
"
'
!
#
"
%
'
&
所以"不等式取等号"这要求+" !
"
")"
!
#
&满足
条件的实数对为$+")%" !""$ %!# &
!#+ !"" 设函数8$+%是%上的单调函数"满足*
对任意+")$%"都有8$+')%"8$+%'8$)%且
8$!%""&问*实数*为何值时"存在>0""使得
8$*96:">%'8$$96:">%"%96:">%"%'('
解析!令+")"("可得8$(%""8$(%"8$(%"(&
结合8$!%""及8$+%是%上的单调函数"可知8$+%
是%上的单调增函数&进而8$+%'(的充要条件是
+'(&问题转为求*"使存在>0"满足*96:">'
$96:">%"%96:">%"'(&令96:">"+">0"即+0
!&利用二次函数+"'$*%!%+%"的性质可知
%"$*%!%"'&0("
!'
!
"
$%$*%!%' $*%!%"'槡 &2
3
4
%"
解得*'"&
!#!,!"" 设+()为正实数"并且满足*
+))!'9:+ "!&
求+)的取值范围&
解析!取对数"可得9:+'$!'9:+%9:)"(&记?"
9:+'9:)"则
("?'9:+9:)(?'
9:+'9:)$ %"
"
"?'?
"
$
&
所以"?(%$或?&(&于是"('+)(!(%$ 或
+)&!&!
因此"+)的取值范围是$("!(*$,)-!",+%&
!#!!!"" 已知关于+的方程
槡+' #+'槡 )" $+'槡 &('-
有实数解&求实数-的取值范围&
解析!问题等价于*求函数8$+%"槡+' #+'槡 )%
$
+'槡 &(的值域&
8$+%的定义域为-(",+%"在此区间上函数
)"
#
+'槡 )是递增函数&下面考察函数
<$+%"槡+% $+'槡 &($+&(%&
注意到"当+0(时"有