2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛试题与参考解答
第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答
一、答案
1.
2.
(答
也给)
3.
T
二、参考解答:
1. 椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半,亦即近地点与远地点矢径长度(皆指卫星到地心的距离)
与
的算术平均值,即有
(1)
代入数据得
km (2)
椭圆半短轴b等于近地点与远地...
第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答
一、答案
1.
2.
(答
也给)
3.
T
二、参考解答:
1. 椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半,亦即近地点与远地点矢径长度(皆指卫星到地心的距离)
与
的算术平均值,即有
(1)
代入数据得
km (2)
椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值,即有
(3)
代入数据得
(4)
椭圆的偏心率
(5)
代入数据即得
(6)
2. 当卫星在16小时轨道上运行时,以
和
分别
示它在近地点和远地点的速度,根据能量守恒,卫星在近地点和远地点能量相等,有
(7)
式中
是地球质量,
是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直,根据角动量守恒,有
(8)
注意到
(9)
由(7)、(8)、(9)式可得
(10)
EMBED Equation.DSMT4 (11)
当卫星沿16小时轨道运行时,根据题给的数据有
由(11)式并代入有关数据得
km/s (12)
依题意,在远地点星载发动机点火,对卫星作短时间加速,加速度的方向与卫星速度方向相同,加速后长轴方向没有改变,故加速结束时,卫星的速度与新轨道的长轴垂直,卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度
km,但新轨道近地点高度
km.由(11)式,可求得卫星在新轨道远地点处的速度为
km/s (13)
卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量,设发动机点火时间为t,有
(14)
由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得
t=
(约2.5分) (15)
这比运行周期小得多.
3. 当卫星沿椭圆轨道运行时,以r表示它所在处矢径的大小,v表示其速度的大小,
表示矢径与速度的夹角,则卫星的角动量的大小
(16 )
其中
(17)
是卫星矢径在单位时间内扫过的面积,即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的,故
是恒量.利用远地点处的角动量,得
(18)
又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为
(19)
所以卫星沿轨道运动的周期
(20)
由(18)、(19)、(20) 式得
(21)
代入有关数据得
s (约15小时46分) (22)
注:本小题有多种解法.例如,由开普勒第三定律,绕地球运行的两亇卫星的周期T与T0之比的平方等于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方,即
若
是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径,则有
得
从而得
代入有关数据便可求得(22)式.
4. 在绕月圆形轨道上,根据万有引力定律和牛顿定律有
(23)
这里
是卫星绕月轨道半径,
是月球质量. 由(23)式和(9)式,可得
(24)
代入有关数据得
(25)
三、参考解答:
足球射到球门横梁上的情况如图所示(图所在的平面垂直于横梁轴线).图中B表示横梁的横截面,O1为横梁的轴线;
为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线;A表示足球,O2为其球心;O点为足球与横梁的碰撞点,碰撞点O的位置由直线O1OO2与水平线
的夹角表示.设足球射到横梁上时球心速度的大小为v0,方向垂直于横梁沿水平方向,与横梁碰撞后球心速度的大小为v,方向用它与水平方向的夹角表示如图.以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy,y轴与O2OO1重合.以表示碰前速度的方向与y轴的夹角,以表示碰后速度的方向与y轴(负方向)的夹角,足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向,即角的大小.
以Fx表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小,Fy表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小,t表示横梁与足球相互作用的时间,m表示足球的质量,有
(1)
(2)
式中
、
、
和
分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小.根据摩擦定律有
(3)
由(1)、(2)、(3)式得
(4)
根据恢复系数的定义有
(5)
因
(6)
(7)
由(4)、(5)、(6)、(7)各式得
(8)
由图可知
(9)
若足球被球门横梁反弹后落在球门线内,则应有
(10)
在临界情况下,若足球被反弹后刚好落在球门线上,这时
.由(9)式得
(11)
因足球是沿水平方向射到横梁上的,故
,有
(12)
这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置
所满足的方程.解(12)式得
(13)
代入有关数据得
(14)
即
(15)
现要求球落在球门线内,故要求
(16)
四、参考解答:
1. 当阀门F关闭时,设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n1,当B处的温度为T 时,压力表显示的压强为 p,由理想气体状态方程,可知B和M中氢气的摩尔数分别为
(1)
(2)
式中R为普适气体恒量.因
(3)
解(1)、(2)、(3)式得
(4)
或
(5)
(4)式表明,
与
成线性关系,式中的系数与仪器结构有关.在理论上至少要测得两个已知温度下的压强,作
对
的图线,就可求出系数. 由于题中己给出室温T0时的压强p0,故至少还要测定另一己知温度下的压强,才能定量确定T与p之间的关系式.
2. 若蒸气压温度计测量上限温度
时有氢气液化,则当B处的温度
时,B、M 和E中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数.由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数
(6)
假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体,则B中气态氢的摩尔数为
(7)
在(7)式中,已忽略了B中液态氢所占的微小体积.由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温中,其中氢气的摩尔数为
(8)
根据要求有
(9)
解(6)、(7)、(8)、(9)各式得
(10)
代入有关数据得
(11)
五、答案与评分标准:
1.
(3分) 2 (2分)
2.如图(15分.代表电流的每一线段3分,其中线段端点的横坐标占1分,线段的长度占1分,线段的纵坐标占1分)
六、参考解答:
如果电流有衰减,意味着线圈有电阻,设其电阻为R,则在一年时间
内电流通过线圈因发热而损失的能量为
(1)
以表示铅的电阻率,S表示铅丝的横截面积,l 表示铅丝的长度,则有
(2)
电流是铅丝中导电电子定向运动形成的,设导电电子的平均速率为v,根据电流的定义有
(3)
所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化,并不等于电流一定没有变化,但这变化不会超过电流
仪器的精度I,即电流变化的上限为
.由于导电电子的数密度
是不变的,电流的变小是电子平均速率变小的结果,一年内平均速率由v变为 v-v,对应的电流变化
(4)
导电电子平均速率的变小,使导电电子的平均动能减少,铅丝中所有导电电子减少的平均动能为
(5)
由于I<
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