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公理化思想的内涵公理化思想的内涵PAGE公理化思想的内涵公理化思想的内涵、发展、作用及学习数学史的感受08数学教育2班颜运024公理化方法是自然科学,特别是数学的重要逻辑演绎工具。长期以来人们对公理化方法研究不止,存在不同的看法和争议,并由此而不断产生新的科学分支。因此,公理化方法研究总是充满生机的。数学公理化思想的内涵数学公理化的目的,就是把一门数学表述为一个演绎系统,这个系统的出发点则是一组基本概念和若干基本命,基本概念必须是对数学实体的高度纯化和抽象,而基本命题则是对基本概念相互关系的制约和规定。显然,公理学也并非神学,因为公理系统乃是数学家的自由创造,是大量数学知识的理论概括,是数学科学推理论证的出发点,并非象神学那样极力排斥理性,把一切依据统统归诸于《圣经》和神的意志对于公理学的结构,可以分为三种,即含内容的公理学、半形式化公理学和形式化公理学。这三种形式结构,也就是它形式化发展的三个阶段,即产生阶段,完善阶段、形式化阶段。含内容的公理学的代表作《原本》,它流传甚广,以至于今天在“新数”运动的尾声中,世界各国的中学课本中的多数仍然受着它的传统影响。半形式化公理学的代表作是《几何学基础》,正是因为如此,才使得希尔伯特成为现代数学中的公理方法的奠基人”。然而,一个数学分支公理化的完成,也并不意味着是它的最后终结,而是促使这一分支进一步地向前发展,自希尔伯特以后,公理化方法己渗透到几乎所有的纯数学的领域。形式化公理学的代表作是希尔伯特1904年在海德堡召开的第三届国际数学会议上所提交的一篇关于大致描画证明论的论文,其基本思想就是采用符号语言把一个数学理论的全部命题变成公式的集合,然后证明这个公式的集合是无矛盾的。由于公理方法的进一步形式化,不仅推动着数学基础的研究,而且还推动着现代算法论的研究,并为数学应用于电子计算机等现代科学技术开辟了新的前景。公理体系是由（1）基本概念（基本对象及基本关系）（2）公理组（3）定理及证明构成的。基本概念和公理组构成的公理系统是公理体系的基础部份。一个公理体系是否“严格”、“科学”,要看它是杏满足以下三个条件。（1）相容性：即一个公理体系中不能既推出命题P,又推出它的否定(非P)。（2）独立性：在一个公理体系中被选作逻辑出发点的一组公理中任何一个,不能由其余公理推出,即不能有多余的公理。（3）完备性：即一个公理体系所含的全部真命题,应毫无例外地在本体系中得到证明。只有满足以上三条件的公理体系在逻辑上才是好的,希尔伯特公理体系满足以上三条件。公理化思想的发展历史欧几里德于公元前300年写了一本名著《几何原本》,这是历史上第一次以公理化方法为工具的演绎数学。由于受当时科学水平的限制,他不可能把作为几何根基的基础整理得完美无缺,因此在《原本》中的逻辑系统中显示出许多漏洞来。欧几里德以后的许多数学家几乎都为改进欧氏公理体系做过努力。另外,人们对《原本》中的第五公设产生了如下二方面的怀疑：第五公设是否正确反映了空间性质第五公设本身会是个定理吗于是,人们又进行了三方面的探究：（1）用其他公设来推导第五公设（该条途径研究失败）；（2）换一个与第五公设等价而几何意义明显的命题作为公设；（3）换一个与第五公设相反的公设。历史上的许多数学家企图从否定第五公设（包括等价命题）得出矛盾,从而证明第五公设,但经过长达二十个世纪的历代几何学家们的努力,问题并未得到根本的解决,结果却导致了非欧几何的产生。更令人欣喜的是,十九世纪中叶,人们在欧氏几何中找到非欧几何的模型,这就是说,欧氏几何无矛盾的话,则非欧几何也无矛盾。后来,非欧几何被应用到天体物理和广义相对论中,从而使非欧几何有了坚实的实践基础。为了研究两种几何平行而不悖，以希尔伯特为代表的数学家们掀起了对几何逻辑基础的研究，希尔伯特在1899年发表了他的名著《几何基础》，第一次提出了简明、完整而严格的形式公理化方法而使《几何基础》成为现代公理化方法的里程碑。从此,又掀起了对整个数学基础白多研究,特别是《公理集合论》、《证明论》、《模型论》、《递归数论》,把现代公理化方法又推向更新的层次。而数理逻辑的研究,又促进了电子计算机的出现和发展,这些都离不开现代公理化方法。公理化方法是不断发展的,人们对它的研究不会停止。公理化思想在数学体系中的作用和影响公理化方法是近代数学公理化方法的一个典范,它完善了欧氏几何,使它建立在更加牢靠的基础上。它使几何学的定理命题均按照逻辑演绎关系串联起来,使用起来十分方便。希尔伯特的几何公理化方法对几何的基础进行了十分透彻的分析,有利于对各种几何的异同比较。这祥,通过适当的推导、适当的舍取可得到各种非欧几何。希尔伯特的几何公理化理论不仅推动了数学公理化的发展,形成了“数学公理化学派”,而且还使其他科学在理论的表述方法上得以借鉴。例如,本世纪四十年代波兰的Banach完成了理论力学的公理化,物理学家还把相对论表述为公理化形式,等等。希尔伯特的几何公理化方法不仅作用甚大,而且影响甚广。在希尔伯特的《几何学基础》于1899年出版后,曾引起西方数学界的一阵公理热。由于他的公理化方法对欧氏系统加以完善化,在公理的表述或定理的论证中摆脱了空间观念的直觉成分,并给出和奠定了对一系列几何对象及其关系进行更高一级抽象的可能性和基础。就是说,人们可以在高度抽象的意义下给出公理系统,只要能满足系统中诸公理的要求,就可以使得该公理系统所设计的对象是任何什么事物,并且在公理中表述事物或对象之间的关系时,也可以具有其具体意义的任意性,这样,自从“几何学基础,问世之后,不仅公理化方法进入数学的其它各个分支,而且把公理化方法本身推向了形式化的阶段。而形式公理方法不仅推动着数学基础研究而且还推动着现代算法论研究,从而为数学应用于电子计算机等现代科学技术开辟了新的前景。学习数学史的感受目前,我国各高等院校数学一专业一般都不开没数学史课程,有关数学史的书藉出版也甚少,对理科学生来说,科学史的教育并不受重视,在此情况下,数学专业学生对数学史的了解是贫乏的。数学史的学习,对于学习数学个别课程似乎并无影响,但对于长期从事数学学习,教学或科研的人员来说,就不能说可以忽视。长期以来,科学史的学习都受到学有成效的学者的重视,他们不仅把科学史的学习看焦是了解不学科现状的最好途径,同时也是展望本学科发展的最好方法。数学史学习的好处首先在于：它可以使我们了解到数学发展的全过程,了解到数学各学科之间形成的相互关系,以及各学科在整个数学中的地位和作用。其次,在数学发展的途程中,新的观点、方法和理论不断涌现，改变着数学的面貌,也改变着人们对数学的根本认识,这变化,反映着数学发展的一般道路和特点,同时也向我们展示了数学发展的趋势。对这些变化的认识和了解,也将有助于我们更深入地认识和理解数学。再次,从数学的历史,我们还可以看到数学的发展当今己取得很高的成就,发展到很高的水平,但它又是不足的,因为一方面很多学科的发展还正有待于这些学科的数学化,另一方面,数学要作为这些学科发展的工具,现有的理论和方法还远远不够。还有很多领域等待着新数学的开发,还有很多问题的解决等待着新数学理论的产生。我的毕业论文写的是《兴趣培养对数学教学的影响》，里面就提到了要成功地培养学生的学习兴趣，教师必须对数学史尤其是中国数学史有相当程度的认识，并对学生进行中国数学史的教育。因为我国悠悠数千年的文明史，光辉灿烂，数学的发展高潮迭起，蔚为壮观。当欧洲大部分还处在蒙昧时期，记载着勾股定理及其应用的《周髀算经》已在中国问世；沈括的“造微术”比西方约早600多年；秦九韶发展了“孙子定理”，比西方约早500年；朱世杰的高次内插公式比牛顿的一般插值法约早300年；凡此种种不胜枚举。通过数学史的学习，能够使学生学习先辈的智慧和研究方法，了解中国数学已有的杰出成就与特点，提高民族自信心和自尊心，激发学习兴趣。