【doc】第I型B—O积分表示

【doc】第I型B—O积分表示 第I型B—O积分表示 第l4卷第2期 l994-'7-6月 : \一,/ 西安公路学院Vo1.14No.2 JournalofXiaIlHighwayTransportationUniversityJ100 引言 第1型B一0积分表示 钟忠銮姚宗元 (基础课部)(厦门大学数学系) 摘要:文中g-出1有界城上奎纯函数的Bochner--Ono公式的拓广形 式——第1型B—O积分表示.文献[2][9]等相应公式是其特球情况. 关键词:D-O公式,拓广,垒纯函数 中图分类号:O174.56 着名的Bochner--Martinelli积分公式[1田是空间中有界域上全纯函数的l十十分重要 的积分公式.迄今为止已有不步文章对它进行拓广0】.其中文献[7]的Bochner--Martinelli 积分表示的形式比较一般,该公式概括了文献[1],[3],[6]的相应公式.文献[9]从另 一 角度(核函数是Z的全纯函数)拓广了Bochner--Martinelli积分表示,拓广后的公式通常 称为Boehner--Ono公式.姚宗元在文献[2]中对Bochner--Ono公式进行拓广,得到1十 比Bochner—Ono公式一般的且对任意有界域D的内部和外部(Boehner--O?公式没有给出 有界域D的外部的积分表示公式)都能成立的Bochner--Ono积分表示的拓广形式.本文试 图对Bochner--Ono积分表示进一步拓广,得到1十比文献[2]的相应公式更一般的且同样 对有界域D的内部和外部都成立的Bochner--Ono积分表示的拓广形式.与凸区域的第1型 积分表示的拓广形式[3相对应,我们称文中所得到的结果为第1型B-O积分表示. 1引理 邬蔼云,钟忠銮0对凸区域的Agi3eu6epr积分表示进行拓广,得到如下积分表示. 引理l设空间中的区域D一{(z",):圣(z,:)<O)是有界凸的,^'"表示如下微分算 子 J^'[,()]=kf(z)+?(z一6J)(z)(>0)1f-''1) 【h"'If(z)]=,() 其中6一(,…,)是凸域D中的某一定点,,j)=(—l,..?,一).若函数,(z)-q 奉文1992年3月18日收到. ? ? ? 第2期钟忠套等:第1型B-O积分表示l15 ,一? 其中包(f)一——卫}_—一(3) [?(白一z~)C'jI 一 中 i 中-:1 中li玎 中li 中. i i (4) 最, dc=df-^…^dfl^d.+1^…df. dd^…^d J,;1,…, 引理2设口?c,力(d)=((:l,…,)-l一口ll+…+l:一口|l'<,}是以口为心, 以r(r>0)为半径的完全圆型域(m为不小2的某个自然数).又设b是(d)内某个固定点. 设 l(f—b,f—n,—a.一:) ?(一aj)一?(--1).一(.一.)d【-]^df 一............——.............,::!———...............————.!::L.........—.—................. —....................———..................一 ?? [(一6,)(一)1一i--c}[?(一)(一,)l—nl一.]'J—l』一l 则(—b,一口.f—n,f一:)关于f一(,…,)在\力(d)上为闭形式. (5) ?证明首先证明式(5)的分母在\(a)上不为零.注意到对任意的f?\力(_】(d) ?(一?)(己一)l一口Jl一?0,:?力-(n)(6) '事实上.对任意J--的I? = (,….)?\nc_】(n) 令P:(7) 则P?r>0.现在以口为心.以P为半径非完全圆型域力(d)一{(:..…,),l#.一a.l. +…+l一口lI<)?显然,力(d)c力'(n).而因为凸区域力二一'(d)的定义函数 中(,)一l一n.I'+…+l一口_I-一(8) 白凸区域的边界性质叫得到 ll6西安公路学院I994年 即 客毳()?.,?雒)z?0c_1(n)c(n)蓍I.(靠一)一予砉(一zJ)(一I一一?.(9) (1O) 因f'是V(n)中任意一点,因此在\f】【_)(n)上式(6)成立.因式(6)对\0)上的 任意,对.,(口)中的任意z都成立,所以在式(6)中取=一6,便得到在V(口)上总有 ?(一)(}』一一aj)I—ajl一?0(u) 由式(6)和(ii)得到,在\(口)上式(5)的分母不为零. 其次证明叫l(f一6,f—a,f—a.一z)在c-\o;(口)上关于为一闭形式.由(一b, 一a,一a,一z)的定义知 d(一6,一a,一a,f一)一a(一6,f—a,f—a,f一) 一 j{IIl—ajI一?(--1)一'(}.一.)d}[Ad)i-1?一I ? ?l—ajI一?(一1)一(一.)d}[I]Ad J-1一I — III—ajl一dAd 2[(一)(一)I一I-一:]一'[(—z)(}一)I—nI一]' ,一 IIl—a3I一d}A 2E(一)(一)l一I--~1一'E奎(一)(一)l—nI一] :o证毕 2Bochner--Ono积分表示的拓广 定理设D是空间中的有界域,且具有逐块光滑边界aD-如果q()= ^…h"[,0)]在域D内全纯.闭域D上连续的函数(^"',…,^"如式(1)所示),则 r一一 1q()甜(一扫.—n.}一n,}一) 刍 I,()a?D,n)n,gD=?(口) 一 {一(12) 10口D,)naD=?(口) ? ? ? 1^ 一J 一 r口 一 一 ?? 一n 一 一一 ( 一?()一 一 ? . ? 一 口 一 一 _ 一n一 一一.( 一 一 ? ?J— r?L— a "+ ? ? ? 第2期钟忠銮等:第1型B-O积分表示ll7 其中a为C'\aD中任一点,nc一】(a)为\aD中以a为心,以r为半径的完全圆型域,即群(4) 一 {(21.…,)tI一aII-k…+I一ll<,}且aDnn(口)=b是nj町(a)内 某一定点,:是f'(d)内任一点.又 (f一6-f一4,f—a-f一=) (?)!一- 要(-1)(i?一:-)df[.】 '[(一枷一一a)I一[(ij--IJ)(一=I一4J]' (13) 称为拓广的M—O棱.式(12)的积分定向的选择为使形式(一1)'d7Ad7是正定的. 拓广的M—O核(13)和M—O核一样都是:的全纯函数(原先的M核.]'c归并非: 的全纯函数).当=l,b=:时(此时^-1I..?h"'[,(r)]=(一1)1.,(r),式(13)便是文献 [2]中的式(9),当一l,b一:.m一2,式(12)的第1种情况即是文献[9]中Bochner—Ono 公式I当一1,d—b一2,m一2时.式(12)成为重要的Boehner—Martinelll积分公式]' 啪. 另外,定理l中的点a是C'\aD中任意取定的点,因此式(12)对C'\aD中的所有2都局部地成 立,即满足条件"a?D,n(口)naD=:?f'(d);或aD-(口)naD一2? f'(a)"的C'\aD中的所有:都成立.因为对于D或\D中的任点:,它总位于D或\D中 某固定点a的附近,满足2?n【一j(a)且aDnn(口)=,使式(12)成立. 证明首先证式(12)的第1种情况.设n是D中任一固定点,f'(d)是以n为心.以r为 半径(r>0).在D中的完全圆型域且n(口)naD—.由引理2 (—b,r—d,r—a,r一2) 1-I(一aj)'一?(一1)(}.一.)d}[.]Adr [?(—bj)(一一aj)I一aI一.]一'[?(一)(一一aj)I一aI一.]'J—Ij--1 关于r为D\/2~(口)c\n(n)上的闭形式,其中b是(口)内任一固定点,:?(n). 由题设q(D在D内全纯,因此有 d[口(r)(r一6,r—a.—a,r一:)] 一 a[q(D~oI(r一6.r-a.r—a,r一:)]+a[g(r)I(r一6.r—a,r—d.r一2)] 一 ?dA(一,r一口,}一,r一2)+g(r)知.(r一6.r一口.}一a.r一:)j-I'J +ag()(r一6-—a,r—d-r一:)+q(Da(r—b,r—a.—d.r一2)一0 所以,口(r)(r一6.r—a,r—a,r一2)关于r也是D\(d)中的闭形式.由Stokes公式有 J口(r)t(r一6-r一口,一,r一:)一0(14)jD—j"1 2?(口),r?aD—ar'(d) ll8西安公路学院1994主 即(--b,a,t) = (詈)'一J口()m(一6,f—n,}一,一=)(15)jft口) 又因为凸区域(d)的定义函数为 (f,f)一I一aI+…+I—aI一r_ 于是 将式(16) l(},)=一詈(一I,一I-2 1c,}一{'詈).I0一dJI一;i:,一..…,'.II一 ()一——_里L——一一 [?(一)r (詈)一") [(一)(}一)I—qI一:]一J一1 (17) 与[t]^d=(一1)一'(詈)扫,(一.)立j-1 I一r一d}[.]^df(口一1,…,一) '(18) 把式(17),(18)代入式(2)(沿着aOT(a)的积分)得到 一 (詈)一. .口(f)?I一qI一?(一1)'一.(}.一.)d}[^d [(—6)(}一a一/)I—I一.][(一?)(,一)I一nI一:]' 再由式(15)得 一 (詈)一. q(D?I一qI_一.?(一1).一.(一.)d}[t]^d ? l————————————上生—————————三————_=————— ———————————————————一厶 [?(一)(一)I—aI一.]一[?(一?)(己一)I—qI一] 因此.当对任意的a?D,力(_)(口)naD=#?力(口)时式(12)的第1种情况得证. 其次,证明式(12)的第2种情况.因为若对任意的口?,力(d)c,且力(口) flaD一根据引理2,(f一6,f—d,}一a一,一#)关于是\(口)上的闭形式,而D c\门(口),因此.mt(f一6.—a,—a,f一#)关于也是D内闭形式.又由于q(D= ^"1..?^[,()]在D内全纯,于是dq(f)^d一0.因此,口(f)m(f一6,f—a,—a.一#) 关于是D内的闭形式.由Stokes公式得到 ? ? ? ? ? 忠銮等:第1型13-O积分表示1l9 第2期钟 』g()(r一6,r一日,一,一z)一o,?n(4) 其中(r一6,一日,一,一z)1t1~(13)所示.故式(12)的第2种情况也成立. 参考文献 钟同德.多复变函数的积分表示与多维奇异积分方程.厦门大学出版社.198683~I10 姚宗元.关于Bochner--Ono公式.厦门大学(自然科学版),1988(3):274~279 邬德云,钟忠銮.关于凸区域和Bochner-Martinelli的积分表示.厦门大学(自然科学版).1983 (4):406,4:15 姚宗元.关于空间中有界域上的积分表示.厦门大学(自然科学版)1986f(3)260~269 姚宗元.空间中第1型M积分表示.厦门大学(自然科学版),1987(4)f390~398 钟忠查.空间中B—M积分表示的拓广.西安公路学院,:1992(3)f93~:1o3 钟忠銮+空间中第1型M积表示的拓广.数学进展.:1993(2)f.1:18~124 l~ochner.S.A1"111.ofMath..44(1943)652,673 A?砷,pr一5I.A.,Kxcav.~,A..r|lHp^胍.mqeY[peocMaaneH~.HBHttetroqEU帅p啪uKo?【u|eKcH0w aH?1'.HoeOeHOKpCK:HayKa?1979 OntheB-OIntegralRepresentationofTypeI ZhongZhongluan (DepartmentofBasicCourese) YaoZongyuan (Dept.Math.XiamenUniversity) Abstract:Inthispaper.anextensionofB—Ointegralrepresentationofholomophicfunc— tlonoftheboundeddomaininareobtained.Thisextendedintegralformulawillalsobe called13-Oformulaoftype1.SO.B-Oformulaandtheotherextensions[2]_[canberegarded asaspecialcaseoftheformulainthispaper. Keywords:13-0formula,extension,holomorphicfunction 123456789