[教学]向量与三角形内心、外心、重心、垂心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍
(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;
(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
O,ABC1((1)是的重心. OA,OB,OC,0,
证法1:设 O(x,y),A(x,y),B(x,y),C(x,y)112233
xxx,,,123x,,(x,x),(x,x),(x,x),0,,1233 ,OA,OB,OC,0,,,yyy,,yyyyyy(,),(,),(,),0123123,,y,,3,
O,ABC是的重心. ,
A证法2:如图
OA,OB,OC?
,OA,2OD,0EO AO,2OD?
A、O、DOAD三点共线,且分为2:1?
BDCO,ABC是的重心 ?1,ABCS,S,S,S(2)若O是的重心,则故,BOC,AOC,AOB,ABC3OA,OB,OC,0 ;
1,ABCPO,(PA,PB,PC),O(3)为的重心. 3
O,ABC2. OA,OB,OB,OC,OC,OA,为的垂心. 证明:如图所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC, D、E是垂足.
A OA,OB,OB,OC,OB(OA,OC),OB,CA,0
E,OB,ACOC,ABOA,BC, 同理,O
O,ABC为的垂心 ,
BDC
b,ac3.设,,是三角形的三条边长,O是ABC的内心
,ABCaOA,bOB,cOC,0,O(1)为的内心.
ABACABAC,BACAB、AC?、,证明:分别为方向上的单位向量,平分,?cbcb
bcbcABACABAC),令 (),AO,,,,?AO,,(?a,b,ca,b,ccbcb
化简得, aOA,bOB,cOC,0(a,b,c)OA,bAB,cAC,0?
,ABC(2) O是内心的充要条件是
ABACBABCCACBOA,(,),OB,(,),OC,(,),0|AB|AC|BA||BC||CA||CB|
O,ABCOA,OB,OC4.为的外心。 ,
典型例题:
A、B、CO例1:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足P
,ABC, ,则点P的轨迹一定通过的( ),,,,0,,,OP,OA,,(AB,AC)
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
D、EBC、AC,ABC
:如图所示,分别为边的A中点.
?AB,AC,2AD
E
OP,OA,2,AD?
?OP,OA,APBDC
?AP,2,AD
,ABCCP//点的轨迹一定通过的重心,即选. ?APAD?
A、B、COP例2:(03全国理4)是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点
ABAC,ABCPOP,OA,,(,)满足,,, ,则点的轨迹一定通过的( B ),,0,,,
ABAC
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
ABACABAC,BAC?、,AB、AC分析:分别为方向上的单位向量,平分,?
ABACABAC
,ABCPB点的轨迹一定通过的内心,即选. ?
A、B、COP例3:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足
ABAC,ABCPOP,OA,,(,),,,,0,,,, ,则点的轨迹一定通过()
ABcosBACcosC
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
分析:如图所示AD垂直BC,BE垂直AC, D、E是垂足.A
AB,BCAC,BCABACE,=(,),BC
ABcosBACcosCABcosBACcosC
BDC,ABBCcosBACBCcosC
,,BCBC==+=0
ABcosBACcosC
,ABC点P的轨迹一定通过的垂心,即选D. ?
练习:
A、B、C,ABCP1(已知三个顶点及平面内一点,满足,若实PA,PB,PC,0,,数满足:,则的值为( ) AB,AC,,AP
3A(2 B( C(3 D(6 2
,ABC2(若的外接圆的圆心为O,半径为1,,则( )OA,OB,OC,0OA,OB,
11,A( B(0 C(1 D( 22
O,ABC,ABC3(点在内部且满足OA,2OB,2OC,0,则面积与凹四边形
ABOC面积之比是( )
354A(0 B( C( D( 243
,ABC,ABCHOH,OA,OB,OC4(的外接圆的圆心为O,若,则是的( )
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
222A、B、CO 5(是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,若OA,BC,OB
222O,ABC,则是的( ) ,CA,OC,AB
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
,ABC6(的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,OH,m(OA,OB,OC)
则实数m =
????ABACABAC1???7((06陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )?BC=0且 ? = , 则????2|AB||AC||AB||AC|?ABC为( )
A(三边均不相等的三角形 B(直角三角形
C(等腰非等边三角形 D(等边三角形
2A、B、C,ABC8(已知三个顶点,若,则AB,AB,AC,AB,CB,BC,CA,ABC为( )
A(等腰三角形 B(等腰直角三角形
C(直角三角形 D(既非等腰又非直角三角形