《挪威的森林》的影评：不爱说话的人

第二章 一元函数微分学 2009年新东方数学+政治+英语的基础班强化班冲刺班+全部word讲义 讲义下载地址http://ishare.iask.sina.com.cn/cgi-bin/fileid.cgi?fileid=4850240 2009年数学全套包括： 2007年高数、线性代数、概率的基础班+全部word讲义可打印；（新东方数学2年没有开基础班了，基础班每年差不多） 2009年高数、线性代数、概率的强化班+全部讲义可打印； 2009年高数、线性代数、概率的冲刺班+全部讲义可打印； 2009年英语全套包括： 2008年英语（阅读、写作、翻译、完型）的基础班+全部讲义可打印（09年基础官方用的是08年的基础） 2009年英语（阅读、写作、翻译、完型）的强化班+全部讲义可打印 2009年英语（阅读、写作、翻译、完型）的冲刺班+全部讲义可打印 2009年政治全套包括： 2007年政治基础班的马哲、政经、毛概、邓论、世经+全部讲义 2008年政治基础班的马哲+讲义（09年基础用的是08年的，而08基础年只开了任汝芬的哲学，所以把07的基础班全程加上去了，政治基础班每年内容都差不多） 2009年政治强化班的马哲、政经、毛概、邓论、世经+全部讲义 2009年政治冲刺班的马哲、政经、毛概、邓论、世经+全部讲义 2009年政治点睛班的马哲、政经、毛概、邓论、世经+pdf讲义为（任汝芬最后四套题） 09年新东方的数学英语政治的基础班课程我找了好久都没有找到，后来知道09年基础班官方都是用往年的资料。有一个卖资料的说有09新东方数学的基础班，后来仔细一问才知道用的是08年的强化班来代替09年的基础班。09年数学的强化班我有，还要他的08数学强化做什么！！所以大家买资料一定要先问清楚了，否则只能吃哑巴亏！！！ 价格：包快递3dvd 8G容量 70元 货到付款、货到付款、货到付款（请点击圆通快递查询您那里是否能收到快件，否则ems全国可达加收10元）收到快件后把光盘内容拷贝到自己电脑检查无问题再付款到我工农建行账号上面） 确认没有问题再联系汇款事宜。 本人有付费网盘，如果您的网速快可以直接下载，直接下载的价格是50元，下载完，给你解压密码，再付款到我工农建行账号上面。确认没有问题再联系汇款事宜。 手机：13672123684 本人地址：天津市 天大蔡高厅高数大型讲座 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却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件 ，而 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） 当 时， 收敛 当 时， 发散 （2） 一级数 当 时， 收敛，当 时， 发散 （注： 时， 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知 ） 二、正项级数敛散性的判别法 若 则 称为正项级数，这时 所以 是单调增加数列，它是否收敛就只取决于 是否有上界，因此 收敛 有上界，这是正项级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。 1．比较判别法 设 ，当 时， 皆成立，如果 收敛，则 收敛；如果 发散，则 发散。 2．比较判别法的极限形式 设 ， ， 若 1）当 时， 与 同时收敛或同时发散。 2）当 时，若 收敛，则 收敛。 3）当 时，若 收敛，则 收敛。 3．比值判别法（达朗倍尔） 设 ，而 1）当 时，则 收敛 2）当 时（包括 ），则 发散 3）当 时，此判别法无效（注：如果 不存在时，此判别法也无法用） 4．根值判别法（柯西）（数学三不考） 设 ，而 1）当 时，则 收敛 2）当 时（包括 ），则 发散 3）当 时，此判别法无效 事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在 情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。 三、交错级数及其莱布尼兹判别法 1．交错级数概念 若 ， 称为交错级数。 2．莱布尼兹判别法 设交错级数 满足： 1） 2） ，则 收敛，且 四、绝对收敛与条件收敛 1．定理 若 收敛，则 一定收敛；反之不然。 2．定义 若 收敛，则称 为绝对收敛； 若 收敛，而 发散，则称 为条件收敛。 3．有关性质 1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。 2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即 或 一定是发散的。 4．一类重要的级数 设 1）当 时， 是绝对收敛的 2）当 时， 是条件收敛的 3）当 时， 是发散的 （乙）典型例题 一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性 例1．判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。 1） 2） 1）解： 的 ，收敛 [注] 如果只判别收敛性不需要求和，那么可以用比较判别法的极限形式 因为 而 ,可知 收敛，从而原级数收敛 2）解： ① ② ①-②得 ，收敛 例2．设数列 收敛，级数 收敛，证明 收敛（数学三可以不看） 证：由题意可知 存在 存在 而 因此， 于是级数 是收敛的 二、主要用判别法讨论级数的敛散性 例1．设级数 收敛，则 收敛 解： 已知 收敛， 收敛，故 收敛 再用比较判别法，可知 收敛 例2．正项数列 单调减少，且 发散，问 是否收敛？并说明理由。（数学三不考） 解： ，又单调减少， 存在，如果 ，根据莱布尼兹判别法可知 收敛，与假设矛盾， ， 这样， ， 由等比级数 收敛和比较判别法可知 收敛。 例3．设 （1）求 的值。 （2）证明：对任意正常数 ， 收敛。（数学三不考） 证明： （1） （2） ， 收敛，由比较判别法可知 收敛。 例4．设有方程 ，其中 正整数，证明方程有唯一正实根 ，并证明 当 时，级数 收敛。（数学三不考） 证：记 当 时， 故 在 上单调增加。 而 ， ，由连续函数的介值定理知 存在唯一正实根 由 与 知 ， 故当 时， 而正项级数 收敛， 所以当 时，级数 收敛。 §8.2 幂级数 （甲）内容要点 一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一） 1．函数项级数的概念 设 皆定义在区间 上，则 称为区间 上的函数项级数。 2．收敛域 设 ，如果常数项级数 收敛，则称 是函数项级数 的收敛点，如果 发散，则称 是 的发散点。函数项级数 的所有收敛点构成的集合就称为收敛域。所有发散点构成的集合称为发散域。 3．和函数 在 的收敛域的每一点都有和，它与 有关，因此 ， 收敛域称 为函数项级数 的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。 二、幂级数及其收敛域 1．幂级数概念 称为 的幂级数， 称为幂级数的系数，是常数，当 时， 称为 的幂级数。一般讨论 有关问题，作平移替换就可以得出有关 的有关结论。 2．幂级数的收敛域 幂级数 的收敛域分三种情形： （1）收敛域为 ，亦即 对每一个 皆收敛，我们称它的收敛半径 （2）收敛域仅为原点，除原点外幂级数 皆发散，我们称它的收敛半径 。 （3）收敛域为 或 或 或 中的一种，我们称它的收敛半径为 所以求幂级数的收敛半径 非常重要，（1）（2）两种情形的收敛域就确定的。而（3）的情形，还需讨论 两点上的敛散性。 如果 （包括 ）或 （包括 ），则收敛半径 （若 ，则 ，若 则 ），如果上述两极限不成立，那么就要用其它方法求收敛半径，后面有所讨论。 三、幂级数的性质 1．四则运算 设 ， ； ， 则 ， 2．分析性质 设幂级数 的收敛半径 ， 为和函数，则有下列重要性质。 （1） 在 内可导，且有逐项求导公式 求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出 在 内有任意阶导数，公式为 ， （2） 在 内有逐项积分公式 且这个幂级数的收敛半径也不变。 （3）若 在 成立，则有下列性质： （i） 成立（ 成立） （ii） 成立（ 成立） （iii） 在 不一定收敛 也即 不一定成立。 如果 在 发散，那么逐项求导后的级数 在 一定发散，而逐项积分后的级数 在 有可能收敛。 四、幂级数求和函数的基本方法 1．把已知函数的幂级数展开式（§8.3将讨论）反过来用。 下列基本公式应熟背：（重要） （1） （2） （3） ， （4） ， （5） ， （6） ， （ 为实常数） 2．用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式 例：求 的和函数 解： 3．用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。 五、利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和 （乙）典型例题 例1．求下列幂级数的和函数。 （1） （2） 解： （1）可求出收敛半径 ，收敛域为 （2）可以从求出和函数后，看出其收敛域 令 ， ， 这里用到公式 于是 且 从上面运算也看先要假设 ，但 ， 又 ，说明 在 处不但有定义而且是连续的，这正是幂级数的和函数应具备的性质。 因此， 例2．已知 满足 ，（ 为正整数），且 ，求函数项级数 之和。 解：解一组微分方程可得通解 由初始条件 ，得 故 从而 令 ， 而在 内 故 于是 ， ， 又 因此，在 时，都有 例3．设级数 的和函数为 ，求： （1） 所满足的一阶微分方程 （2） 的表达式 解：（1） 得 因此， 是初值问题 ， 解。 （2） 为一阶线性非齐次方程，它的通解 由初始条件 ，求出 ，故 于是 例4．求 的和 解： 而 令 = = 收敛域 ， ， 在收敛域的内部 则 §8.3 将函数展开成幂级数 （甲）内容要点 一、泰勒级数与麦克劳林级数的概念 1．基本概念 设函数 在点 的某一邻域 内具有任意阶导数，则级数 称为函数 在 处的泰勒级数。（注：这里泰勒级数是否收敛？是否收敛于 都不知道），特别地，当 ，则级数 称为 的麦克劳林级数 2．函数展成幂级数的条件 设 在 内有任意阶导数，它的泰勒公式 其中 为 阶余项，它的拉格朗日型为 则 的充要条件为 ， 而且 在 处幂级数展开式是唯一的。 特别地， 时得到函数展成麦克劳林级数的充分必要条件。 二、函数展成幂级数的方法 1．套公式 ， 例 ， ， ， ，（ 为实常数） 2．逐项求导 例． ， ， 3．变量替换法 例． ， ， 4．逐项积分法 例． 由此可得 由此可得 5．其它方法 例1：把 展成 的幂级数 分析：如果用套公式法那么很烦，有人求出 ，没有求出一般项 ，就不行！应该这样做： 例2： 把 用变量替换法展开，代入化简即可。上面都是把函数展成 的幂级数（麦克劳林级数）如果要展成 的幂级数（泰勒级数），一般经过适当处理后可利用麦克劳林级数的结果，后面典型例题中再讨论。 （乙）典型例题 例1．将 展成 的幂级数，并求 的和 解： 收敛，函数 在 处连续 将 代入， 又 ，故得 例2．求 在 处的泰勒级数 解： 例3．求 在 处的泰勒级数 解： 例4．求 在 外的泰勒级数 解： （这里补充定义 时函数值为 ） （这里补充定义 ） 例5．求 在 处的泰勒级数 解： §8.4 傅里叶级数（数学一） （甲）内容要点 一、三角函数系的正交性 定义在 上的三角函数系 看作实数域上的线性空间，再定义内积 则任意两个元素的内积皆为0，也即有 ， 故称这个三角函数系是正交的。 二、傅里叶系数与傅里叶级数 设 以 为周期或只定义在 上的可积函数， 令 ， ， 则称 为 的傅里叶系数。 三角级数 称为 的傅里叶级数（关于周期为 ，或只在 ） 记以 值得注意在现在假设条件下有 傅里叶系数和傅里叶级数的相关概念，但并不知道傅里叶级数是否收敛，更不知道傅里叶级数是否收敛于 三、狄利克雷收敛定理 设 在 上定义，且满足 （1） 在 上连续或只有有限个第一类间断点 （2） 在 上只有有限个极值点 则 在 上的傅里叶级数 收敛，且 我们把上述两个条件称为狄利克雷条件 四、正弦级数与余弦级数 1．设 以 为周期或在 上定义，且满足狄利克雷条件。 （1）如果 是奇函数，则 而 这时 的傅里叶级数为正弦级数 （2）如果 是偶函数，则 而 这时 的傅里叶级数为余弦级数。 2．设 在 上定义，且在 上连续或只有有限个第一类间断点，只有有限个极值点，那么 在 上可以有下列两个傅里叶展开式 （1） 其中 （2） ， 其中 因为在（1）中，相当于 从 按偶函数扩充定义到 ；在（2）中，相当于 从 按奇函数扩充定义到 ，得出傅里叶级数只在 上，因此为余弦级数或正弦级数都可以。至于这些级数收敛的和函数仍按狄利克雷收敛定理的结论。 （乙）典型例题 例1．把 ， 展成以10为周期的傅里叶级数 解： 推演 过程中 没有意义， 要重新求。 故 例2．将函数 展成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数 的和。 解： 为偶函数，只能展成余弦级数，即 ， ， 因为所给函数在 上满足狄氏收敛定理，故 ， 当 时，上式 ，又 故 例3．设 在 上可积， 为 的傅里叶系数，试证： 证明：只需证明对任意正整数 都有 令