2013年安徽高考理科数学试卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷和第II卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。 参考： 如果事件A与B互斥，那么 如果事件A与B相互独立，那么 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数，若 ，则 = （A）         （B） （C）       （D） （2）  如图所示，程序框图（算法图）的输出结果是  （A）       （B） （C）       （D） 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com) 版权所有：( ) （3）在下列命题中，不是公理的是 （A）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 （C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 （4） “是函数 在区间 内单调递增”的 （A） 充分不必要条件              （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件                （D）既不充分也不必要条件 （5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （A）这种抽样方法是一种分层抽样 （B）这种抽样方法是一种系统抽样 （C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 （6）已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为 （A）     （B） （C）         （D） （7）在极坐标系中，圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （A）         （B） （C）       （D） （8）函数 的图像如图所示，在区间 上可找到 个不同的数 使得 则 的取值范围是 （A）         （B） （C）       （D） （9）在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足 则点集 所表示的区域的面积是 （A）         （B） （C）       （D） （10）若函数 有极值点 ， ，且 ，则关于 的方程 的不同实根个数是 （A）3        （B）4 （C） 5        （D）6 2013普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数    学（理科） 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把填在答题卡的相应位置。 （11）若 的展开式中 的系数为7，则实数 _________。 （12）设 的内角 所对边的长分别为 。若 ，则 则角 _________. （13）已知直线 交抛物线 于 两点。若该抛物线上存在点 ，使得 为直角，则 的取值范围为___________。 （14）如图，互不相同的点 和 分别在角O的两条边上，所有 相互平行，且所有梯形 的面积均相等。设 若 则数列 的通项公式是____________。 （15）如图，正方体 的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段 上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。 ①当 时，S为四边形 ②当 时，S为等腰梯形 ③当 时，S与 的交点R满足 ④当 时，S为六边形 ⑤当 时，S的面积为 三.解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。 （16）（本小题满分12分） 已知函数 的最小正周期为 。 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）讨论 在区间 上的单调性。 （17）（本小题满分12分） 设函数 ，其中 ，区间 （Ⅰ）求的长度（注：区间 的长度定义为 ）； （Ⅱ）给定常数 ，当时，求 长度的最小值。 （18）（本小题满分12分） 设椭圆 的焦点在 轴上 （Ⅰ）若椭圆 的焦距为1，求椭圆 的方程； （Ⅱ）设 分别是椭圆的左、右焦点， 为椭圆 上的第一象限内的点，直线 交 轴与点 ，并且 ，证明：当 变化时，点 在某定直线上。 （19）（本小题满分13分） 如图，圆锥顶点为 。底面圆心为 ，其母线与底面所成的角为22.5°。 和 是底面圆 上的两条平行的弦，轴 与平面 所成的角为60°， （Ⅰ）证明：平面 与平面 的交线平行于底面； （Ⅱ）求 。 （20）（本小题满分13分） 设函数 ，证明： （Ⅰ）对每个 ，存在唯一的 ，满足 ； （Ⅱ）对任意 ，由（Ⅰ）中 构成的数列 满足 。 （21）（本小题满分13分） 某高校数学系在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 位学生，每次活动均需该系 位学生参加（ 和 都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 （Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （Ⅱ）求使 取得最大值的整数 。 继续阅读