三次方的WARINGGOLDBACH问题(可编辑)
山东大学
博士学位
三次方的WARING-GOLDBACH问题
姓名:任秀敏
申请学位级别:博士
专业:基础数学
指导教师:展涛
2001.3.31三次方的.问题
摘要
.三次方的?问题,
三次方的?问题是研究将整数
为素数的立方之和的可 能性.在这一方面的最早结果是年由华罗庚】证明的如下结论:
所有充分大的奇数均可表为九个素数的立方之和 ;;?露
几乎所有满足如下必要条件
?,
的整数均可袁为五个素数的立方之和
;;碡
事实上,华罗庚还进一步证明了关于例外集的如下结论:记为不
能表
的个数,则有
为的正整数
《一,
这里是某个正的常数.后来战:‘趣证明了对所有成立.最 近,本人【】将中的上界改进为,“.
年,】考虑了三次方的蓑蔓 璧矛证明了:几乎所有的正 整数均可表为四个自然数的立方之和
铷%
由此结论以及华的上述结果可知如下的猜想是合理的例如。可参
见】猜想.所有满足如下必要条件
, ?,士, ?
的正整数均可表为四个素数的立方之乖
衍癌菇
从华的结果和可以看出,这是一个很强的猜想.实际上,这是一 个堆垒素数问题可见【,其难度甚至超过哥德巴赫猜想.虽 然猜想至今还没有被证明,但是却一直受到关注. 本文的目的是从不同的方向研究猜想
.可表为四个素数的立方之和的整数的密度、
/
在第二章,我们考察使猜想成立的整数的密度.第二章的主要结
果是
定理.设.?为.的正整数,为可表为的正整数的集合.则 存在绝对常数臼使得
?
口
一
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从定理可知,使猜想成立的整数有正密度.求出定理中口的具体
数
值是有意义的;最近,本了‖/ 见【】是可允许的.由此可知, 在满足必要条件的整数中,至少有.%的整数使猜想成立. 我们的定理改进了
的如下经典结果:
‘
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。
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现在我们给出定理的证明思路.在定理的证明中,我们需要综合
利用圆
法和筛法.令
/
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对/墨,设为表为的表法个数,其中一,而
,一矿则定理可由不等式以及的如下平方均值估计得到. 定理.对如上定义的,我们有
?《。一?
/
这里《中的常数是绝对常数.
的方幂上的任何损失都将影响
上式右边的“至关重要;事实上
到定理的结果.
为证明定理,对墨?曼,设为方程
;?:一;一?一;
的解数,其中,,,一既而 ,,一矿易知, ?
.因此,如果我们能够证明对所有的?川 ,都有 佗《“
则定理得证.
我们利用筛法来证明定理.为此。设???,而为方程 ;??;一?一;
的解数,其中
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这里的关键是筛选式中的,使只有大的素因子.为此。对给定的,
定义为在以及条件下的解数.由筛法理论可知,我们需要 ?的渐近公式.为此,我们证明了
定理.设/,? .又设吼由下式定义
妇。:掣州风。
其中为与表示式及条件有关的奇异级数.为一多重积分并 满足
《。.?.
设驰为任何满足【 的复教,这里为除数函数.别我们有 ?%《“.
我们利用圆法来证明定理.这里除了我们的想法之外,还要用到 【和【】中的思想.利用】线性筛法余项的额形式并 、
用式来控制这一余项,我们便可从定理推得定理. .一个自然数的立方与三个素数的立方和
在第三章,我们给出猜想的另一个近似结果. 定理.以?表示不超过且不能表为
痰;
的的个数,其中是正整数,则有
?《/”
这改进了【】的下述定理:对任意的
.?《.
让我们指出,关于猜想还有类似的近似结果.年,/【】证明了 几乎所有的都可以表为的形式,其中至多有个素因子即为. 而年】将以上改进为.
我们用圆法证明定理.为此,令
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其中/一.利用关于有理逼近的引理,每个?, 都可写成
/,,
其中?,满足 ?且?,.我们以.,记满足的 之集,并以.表示所有,的并,这里???尸且,. 余区问
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为了估计余区间上的积分,除了我们的想法之外,还要用到【】【 和】中的思想.这里主要的困难来自主区间上的积分.我们解决了
这
一困难,证明了定理.设/
,而一.剥有
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此处是该问题中的奇异级数,而是多重积分,满足
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从一 看出,我们的主区间很大.为了得到这样强的结果,我们 不能直接应用?定理.以前人们都是用.现象
来处理增大了的主区间:例如参看 『.
】等.但此处我们要用另外的方法来证明定理.这个 【】,以及?
方法是展涛发明的,后来许多作者都应用了这一方法,例如? ,以
及
..
.这个方法表明,在素变数的个数为三个或更多时,零点 就不再对问题有实质性的影响、从而就可以避免使用。现象. 在本文问题中,变数的个数为四个,因此我们可以避开?现象, 而用三一函数的零点密度估计,非零区域,大筛法等达到目的.展
涛的上
述方法不但简洁,而且能给出更好的结果.
.? 一函数的猜想及其应用
?
在第四章,我们用
一函数的猜想简记为
来研究猜想.关于此猜想的准确涵义,请见第四章第一节. 粗略地说,一个. .函数是一些局部因子的乘积,而后者由某些三 次方程的解数确定.猜想断言:每个如上定义的.、? 上一函数可以解析开拓到全平面,且其所有非显然零点都位于临
界直线上.从猜想
日,回到算术背景,
和,】独立证明了下述猜想’:
?《
?
其中是表为四个整数立方和的表法个数.
利用这一估计并结合圆法的改进见定理下面的阐述,我们得到 定理.设日成立.以记满足必要条件且使得猜想不成 立的
的个数,则有
?《”,
从而满足必要条件的几乎所有的正整数都可表为的形式. 定理.若成立,剐每个满足?的?都可表为七个素数
的立方和,
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且表法个数有渐近公式. 以上两个定理可与华的结果和相比较.同时我们还指出,定理
有条件地改进了定理.,,。 /
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主题词:?问题筛法圆法? ?
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第一章
引
言
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三次方的.问题 可题是研究将整数表为素数的立方之和的可
。。姿枣的、。. 。
能性?夸童一直面的最暑结果是年由华罗庚【】证明商菇苄磊:?”?
所有充分大的奇数均可表为九个素教曲立:方之和
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的立方之和
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为不能表
为..的正整数?的个数,则有
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最近,本人将..中的上界改进为;/.、 ‘
。。鬯,..。.考虑了三次方的华林问题并证明了:几乎所有的正
?。一
整数均可表为四个自然数的立方之和
、
由鼍董箩掣毪苎塑士笋冀曼只挈如下的猜想是合理的例如,可参
见【】
一
猜想.所有满足必要奈件
”,
?,士,
?
..的正整数均可表为四个素数的立方之和
..
;;
从华的结果和可以看出,这是一个很强的猜想.实际上,这是一 个堆垒素数问题可见【】。其难度甚至超过哥德巴赫猜想.虽 然猜想至今还没有被证明,但是却一直受到关注. 本文的目的是从不同的方向研究猜想
可表为四个素数的立方之和的整数的密度
?.
在第二章,我们考察使猜想成立的整数的密度.第二章的主要结
果是
定理.设?为一个大的正整数,为可表为..的正整数的集合 则存在绝对常数口使得
州
一
?裂
从定理可知,使猜想成立的整数有正密度.求出定理中口的具体
数
值是有意义的;最近,本人证明了/见是可允许的.由此可知, 在满足必要条件..的整数中,至少有.%的整数使猜想成立. 我们的定理改进了【】的如下经典结果:
。
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现在我们给出定理的证明思路.在定理的证明中,我们需要综合
利用圆
法和筛法.令
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对 ,设为表为..的表法个数.其中肌一,而
,一矿则定理可由不等式以及的如下平方均值估计得到.定理.对
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这里《中的常数是绝对常数.
上式右边的“至关重要;事实上 的方幂上的任何损失都将影响 到定理的结果.
为证明定理,对,设为方程
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.因此,如果我们能够证明对所有的曼九
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则定理得证.
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这里的关键是筛选..式中的,使只有大的素因子.为此,对给定的 ,定义妇为..在..以及条件下的解数.由筛法理论可知,我 们需要?的渐近公式.为此,我们证明了
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其中国为与表示式..及条件叫有关的奇异级数.,为一多重积
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我们利用圆法证明定理.这里除了我们的想法之外,还要用到 【【和【中的思想利用【线性筛法余项的薪形式并 用..式来控制这一余项,我们便可从定理推得定理. 一个自然数的立方与三个素数的立方和
.
在第三章,我们给出猜想的另一个近似结果 定理.设?为不超过且不能表为
..
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的的个教,其中是正整数,则有
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这一结果改进了的结果:对任意的
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让我们指出,关于猜想还有类似的近似结果.年,【证明了 几乎所有的都可以表为..的形式,其中至多有个素因子即为 .而年】将以上改进为尸.
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为了估计余区间上的积分,除了我们的想法之外,还要用到】】 和中的思想.这里主要的困难来自主区间上的积分.我们解决了
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一困难,证明了
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定理.设/
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此处是此问题中的奇异级数,而是多重积分,满足
一《《一
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来处理增大了的主区间;例如参看
等但此处我们要用另外的方法来证明定理.这个
,以及?
方法是展涛发明的,后来许多作者都应用了这一方法,例如?【,
以及
?.
.这个方法表明,在素变数的个数为三个或更多时,零点 就不再对问题有实质性的影响,从而就可以避免使用现象. 在本文问题中.变数的个数为四个,因此我们可以避开.现象,
而用
一函数的零点密度估计,非零区域,大筛法等达到目的.展涛的上 述方法不但简洁,而且能给出更好的结果.
.
函数的猜想及其应用
?.
.
在第四章、我们用 .函数的猜想简记为何
来研究猜想.关于此猜想的准确涵义,请见第四章第节. 粗略地说,一个?三一函数是一些局部因子的乘积,而后者由某些
三
次方程的解数确定.猜想断言:每个如上定义的.
一函数可以解析开拓到全平面,且其所有非显然零点都位于临
界直线上.从猜想
和. 独立证明了下述猜想舻:
回到算术背景,
?《?‘,
其中是表为四个整数立方和的表法个数
利用这一估计并结合圆法的改进见定理下面的阐述,我们得到 定理.设日成立.以?记满足必要条件..且使得猜想不 成
的个数,则有
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从而满足必要条件..的几乎所有的正整数都可表为..的形式.
定理.若成立,则每个满足?的都可表为七个素数 的立方之和
.
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且表法个数有渐近公式.
以上两个定理可与华的结果和相比较.同时我们还指出,定理
有条件地改进了定理.
第二章可表为四个素数的立方之和的整数的密度 结 果
?.
设?是一个大整数,而
/.
?厕丽, ..
对/
,记为表为..的表法个数,其中
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在本章,我们建立如下结果
定理.设?为一个大的正整数,为可袁为..的正整数的集合 剐存在绝对常数口使得
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证明定理的关键是的如下平方均值估计 定理对如上定义的,我们有
.
?《。。』.
这里《中的常数是绝对常数.
利用定理,我们可以立刻给出定理的证明. 定理的证明.首先,由不等式得
州鄹,嚣州七.仫?,
再由的定义并利用素数定理得
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这里》中的常数是绝对常数.这就证明了定理. 接下来我们只需证明定理.为此设 ??,而为方程
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因此,如果我们能证明:对于所有的曼九 ,都有
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利用圆法证明下述结论 定理.设?/,? ,而由 、
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定圣..巷中&为.,定义的奇异级数.该级数绝对收敛,并且对和
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为..定义的多重积分,满足
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..
又设%为任何满足驰 的复数.则我们有
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为了应用圆法,我们定义主区间和余区间如下:设为固定的正数,
满足
望鲁.记朋口,为区间/?。/,,口// ,.而主区问朋 定义为诸,。沣,其
口冬墨。,且,.余区间定义
为在陋/,/】中的余集.注意州汜口两两不交. 为了建立余区间上的所需估计,我们需要下面的两个引理.
引理...设和铂由定理定义,而
,口
,
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又设
。
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剐对.,我们有
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证明.该引理是?,命题的直接推广.事实上,引理..与?, ,但
命题的唯一区别是我们允许冬,而在上述命题中
/ 这不会引起任何问题.事实上,上述命题的证明主要依赖于中的
引理,其
中假设?.因此我们只需验证上述引理对/?也成立,但从其 证明可以看出这是显然的.从而引理..得证.祥细证明见、 .
下面的结果是?中的..
引理..。我们有
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,的变形
我们还将用到下面的结果,这是廖明哲和曾启文, 引理...设
如,
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垂,.:/“。。,?,:/掣。
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则我们有
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/垂,面丽?,皿,一
:::丝:::塑
:三
/口口..;“;..“:.... 其中
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定理的证明.对任何可测集,定义 ,/,歹再万一. ..
压则我们雨,,,并且恤川一学一?如;砒,
?曲五卜? 织’~ 、
利用不等式以及引理..和.,可得余区问上的估计
?缈岬卜。两酬。。悱她如 《加七咖胪瞰刮‰
× ,。。叫
《己一日// /《一,..
这里我们用到了假设.为处理主区间,我们引进记号
乳,牡耋竽,七扯妻孚州卫四 并且对?/?,定义
肌学咐四,弘鬻邺川,
。
妒
州。帮州,
。
呈望繁朋纽掣要两至交:要壁互,.’,在上有定义.对。:。/?, 。?
“’
由华,引理.知,存在绝对常数,,使得 。一’《响,
叫一’《一,以
又由【,定理.得知
一.《。《因此,对口 一致地有 ..
歹引?一尼矿扩陋《日,
这里用到了平凡估计式,?.记 ‘一.
嵋/尼矿矿
则由..,..,孔曼,以及的测度为得 ..
??妇,朋一一:《‖‖ ~. 现在我们来计算嵋.为此,我们定义 一警七。.四
挑,喜?雾
和
/ 中,‖面丽皿,?,一... 则有
驯;?乃.
利用的估计参见,., ,《/. ..
并再次利用平凡估计, ,我们有 ?训妻睑然娅塞帮《。~. 于是级数
..
?%刚
口
绝对收敛,并且. 成立.此外,我们有
?乃刚
口
将此式及..代人..,我们得到 吲啦掣等
据此并结合..便得
。.四
?恤洲掣圳《‖一.
将.
和
.代人..可得 .
现在,我们只剩下证明...利用估计式
,
,
《
并进行分部积分得
.
咐.耻;‖“叫哪
类似地,我们有?,《“,?“.将..中的积分
区间扩展到一。。,。。,则由此所引起的误差
《/ 『西,?.?,矿
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《‖ 一”.
再利用引理..,我们从..得到 ,。
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一、
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,。丽/ ?‖惫彘? 。.儿
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×仁篡篡
“一“/“’
这里十一”一啦“.显然,如果?或。,
则有。一
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,做积分变换,则该积分 吖
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将此估计代入 .,然后平凡估计其余的积分便得..这就证明了定
理
.
下面的引理是中的.,我们将在第节中用到. 引理...设满足,,则我们有
&礼乃,十五,?乃,?,
筇 嚣
筛法的应用
.
引理...设,为方程
;?:一;一?一鳝三
的解数,其中
协??.则,,对?和所有成立.此外
对充分失的,我们有
,. ..
证明.如果三或,则在模的简化剩余系上,映射。一。 是双射.因此,,等于方程
的解数,其中,在模的简化剩余系上取值.此时引理..是显然的
现在假设三.我们有
护妄‰。,丽一罟咄叫
其中
三‰丽一羚
下面我们估计.首先,由【,引理.,我们有,茎/ 此外.
,一一. 舢
?,
易知,右边的笫一项等于乘以同余方程。三?满足 ,,玑?一
的左边等于
的解数.因为三.所以该解数为?.因此,. 一.于是得到估计
??每一. ..
通过简单的计算可知,当?时,
~;并且,对充分大的有
《/.因此?,对?和所有成立,并且有?, .引理证毕.
引理...对,.设,。为方程
?;?:一;一?一?兰’ ..
的解数,其中??’,曼,?,.则
?.?,对?和所有成立,并且对充分大的,我 们有
日, ..
成立:
,对
//,,,
证明.由定义得? ? ?
,?? 一??
由定理立得.
与引理..的证明类似.对三或的情况可平凡处理. 对
.我们有
, 砑
丽
詈埘
,??
其中
?,。舭虿丽~
肚?七舭丽~了
类似..,我们有
。 、/芦、/面?
这里用到了的上界估计,曼、/可参见】,..通 过简单的计算可知。一对 成立,因此日,对 兰和所有成立.,和日,可通过计算直接证明. 事实上,对。三,,,,,分别有三,,,,.因此,当 ,时、方程..对所有是可解的.这就给出了日,.类 似可得,.这就证明了
显然
引理.
.我们有.
证明。由.
,对任何素数有
?
业訾等趟一了 一 。\/『器邝.。, ~’,口 .
对?,由引理
知上式右端.对,由..得
。五。卜。?。,一警篱于是由引理..得,,.将上述估计代人引理..
便证得引理....
现在我们利用筛法给出
定理的证明.我们将用,定理证明... 设满足?川冬,而为所有满足..和..的的全体,并 怕.
且按重数记.令?:.则我们有,并且 又记为所有之的素数的全体,定义
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为了证明..,我们需要给出函数
,,:?:,。
的上界估计.为此需要获得的好的近似估计,而这已在定理中
给出.假设没有不在中的素因子,定义 ..
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这里由引理..保证.于是由.
掣剐州七低.
由引理..和..知是可乘的,并且对?. ..
?糍.
由..我们有
‘, \ ,/ 、, ‘,
壹紫~警一裂 、
将上式及..代人..,我们得到
..
岫渊.又由引理..及..知,对所有?,有 , ..
一.
因此,存在某个绝对常数,使得对所有???。,成立
七?川
南?
黔一玎孙唧
又由引理..和..知,对所有?和?,我们有?,从
而有矿“.因此,存在绝对常数,使得对所有? ,
..
篆差等南
令?/。,/.由..一..知,,定理的条件
被满足,故存在绝对常数,,使得
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、
小洲,翼?一半
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×。抽。/
这里
,,??。,,,。。,其中,满足,和,而。,,不超过.定义 叩??。,其中求和号下的条件是所有满足,, 的,?.于是.我们有/?,并且
?驰且
因为.??/,而。/,所以定理的条件被满足.因此,由定理知.
.中的误差项满足《三一“.于是..可改写为 跗,刚们《跏“。里:。,一警?口..。 ,”由..,我们有
,驴一半巡删。七。辨丽
将此式代人..,然后应用..和..便得 ,,/。《三一一《三一
显然,方程..满足
.的解数《,,/,即我们有《
一,这就证明了...从而证明了定理.第三章一个立方与三个素数
的立方和
结果
.
本章的目的是利用圆法建立如下结果
定理.设为不超过且不能袁为..的的个教,则有 ?《/”.
我们从..出发.为了处理主区问上的积分,我们需要证明 定理.设?/曼?.则对/,我们有
,
/ ,?,丁一佗一一...
?
这里是由..定义的奇异级数,对某个常数,满足》 ~.而,;,,由..定义并满足
一《佗《~.
我们将在第?节中证明定理.
为了估计 .中余区间上的积分,我们需要如下结果 定理.我们有
/ 』. ,丁《?一/
定理的证明将在第节给出.
有了定理和定理,现在我们可以给出定理的证明. 定理的证明.主区间上的估计由定理给出.下面处理余区间上的
估计
首先,由不等式以及定理得, , ?川《,悯,悯酬《“.
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/由此不难推出,除了至多一/个例外,对/??,有
?《啪‘‖.
因此,对这些非例外的,我们有 ,一一“,
从而这些可以表为...对上述例外的个数?,我们有
?《一/拙《一/?。《/娶罢 。, 定理.
?.
一个显式
奎节的目的孳建辛..左边的显式形式,这将在引理..中给出
一。’
对
和× ,我们定义
一熹一,孚,‰九蹦,七。.,, 而对或定义
,?
一
叭九?厶“地如,
吣萨厶纩小?扎
下面的引理将给出当?朋时,,?的渐近公式. 、
’
~
。璺?。.,毪.,?”。,其中由定义.而口/ 由定理给出.则对/?,我们有‘
,,?,?,
其中
,.
叭?:帮吣,
/?成立,其中为小正数.再由?,。/’便得. 刚,卟一南。三。’?暑吣肌,
而
..,
,?,,。,等;? ?,, .
此处卢表示
函数,的非显然零点零
点.
证明.通过引入特征,指数和,可表示为可参见】, ?,
?×...
?上九
~?
三
利用显示公式例如,参见,?,一;?,. ?。一?;。掣?。。
、
/
’
其中氏或取决于是否等于妒,而卢是,的非显然零
点记为上式中的大项,则..右边关于的求和等于 ? 盯
×
,??,?【 、??、,?
?一
驰八卟纛邺,州。?舭涉五
川?丁
上式中的大项可估计为
《??。。。
“《了三
将以上估计代人..,然后利用的估计..,我们便得引理
..的结论
引理...设由..定义.则对/?,我们有 ,
其中
:巡型圣,,:/
.的推论
证明.这是,
现在我们给出本节的主要结果. 引理..,我们有
厶跏,哪七叩咖五州
了/佃九,叭姒九
/?。
/,?一/
?掣
。?杀
,, 一一 一。
为了证明这个结果,我们需要下面的引理.
中
引理...设,,表示上,在区域口?.?,
的零点个数.定义
?正丁,?口,丁,
?’一.??’?以丁,
?
其中表示只对模的原特征求和.则我们有 ?七.《丁/, ’口,,《。丁/。一。 证明.由】.和定理可得.
引理..的证明.首先我们证明,对口?加?,?,有
。.
州《/南只
而对或有
.
剐?,?《/彬丽工
和
。
剐,《眠丽‰沪
利用估计式
..
‖彤
并进行分部积分得
,
。扫?如
,;厶。
旷,眠南.。川
将..代人. 并利用..便得...在..中令
然后利用,的上界估计 ..
,《口/
便得到..
为了估计&,,我们注意到 筹?志魄一赤
五 击“击
因此,由,引理.和.,我们有 ?击“地赤“如
蝴;州:托。
蝴;眠;/。
鲫口
高
胪,斋