三次方的WARINGGOLDBACH问题（可编辑）

三次方的WARINGGOLDBACH问题（可编辑） 山东大学 博士学位论文 三次方的WARING-GOLDBACH问题 姓名:任秀敏 学位级别:博士 专业:基础 指导教师:展涛 2001.3.31三次方的.问题 摘要 .三次方的?问题, 三次方的?问题是研究将整数表为素数的立方之和的可 能性.在这一方面的最早结果是年由华罗庚】证明的如下结论: 所有充分大的奇数均可表为九个素数的立方之和 ;;?露 几乎所有满足如下必要条件 ?, 的整数均可袁为五个素数的立方之和 ;;碡 事实上,华罗庚还进一步证明了关于例外集的如下结论:记为不 能表 的个数,则有 为的正整数 《一, 这里是某个正的常数.后来战:‘趣证明了对所有成立.最 近,本人【】将中的上界改进为,“. 年,】考虑了三次方的蓑蔓 璧矛证明了:几乎所有的正 整数均可表为四个自然数的立方之和 铷% 由此结论以及华的上述结果可知如下的猜想是合理的例如。可参 见】猜想.所有满足如下必要条件 , ?,士, ? 的正整数均可表为四个素数的立方之乖 衍癌菇 从华的结果和可以看出,这是一个很强的猜想.实际上,这是一 个堆垒素数问题可见【,其难度甚至超过哥德巴赫猜想.虽 然猜想至今还没有被证明,但是却一直受到关注. 本文的目的是从不同的方向研究猜想 .可表为四个素数的立方之和的整数的密度、 / 在第二章,我们考察使猜想成立的整数的密度.第二章的主要结 果是 定理.设.?为.的正整数,为可表为的正整数的集合.则 存在绝对常数臼使得 ? 口 一 ?韶 从定理可知,使猜想成立的整数有正密度.求出定理中口的具体 数 值是有意义的;最近,本了‖/ 见【】是可允许的.由此可知, 在满足必要条件的整数中,至少有.%的整数使猜想成立. 我们的定理改进了 的如下经典结果: ‘ ?,》志. 。 嚣 现在我们给出定理的证明思路.在定理的证明中,我们需要综合 利用圆 法和筛法.令 / ?/, 对/墨,设为表为的表法个数,其中一,而 ,一矿则定理可由不等式以及的如下平方均值估计得到. 定理.对如上定义的,我们有 ?《。一? / 这里《中的常数是绝对常数. 的方幂上的任何损失都将影响 上式右边的“至关重要;事实上 到定理的结果. 为证明定理,对墨?曼,设为方程 ;?:一;一?一; 的解数,其中,,,一既而 ,,一矿易知, ? .因此,如果我们能够证明对所有的?川 ,都有 佗《“ 则定理得证. 我们利用筛法来证明定理.为此。设???,而为方程 ;??;一?一; 的解数,其中 ,,,一阢 ,,,一 这里的关键是筛选式中的,使只有大的素因子.为此。对给定的, 定义为在以及条件下的解数.由筛法理论可知,我们需要 ?的渐近公式.为此,我们证明了 定理.设/,? .又设吼由下式定义 妇。:掣州风。 其中为与表示式及条件有关的奇异级数.为一多重积分并 满足 《。.?. 设驰为任何满足【 的复教,这里为除数函数.别我们有 ?%《“. 我们利用圆法来证明定理.这里除了我们的想法之外,还要用到 【和【】中的思想.利用】线性筛法余项的额形式并 、 用式来控制这一余项,我们便可从定理推得定理. .一个自然数的立方与三个素数的立方和 在第三章,我们给出猜想的另一个近似结果. 定理.以?表示不超过且不能表为 痰; 的的个数,其中是正整数,则有 ?《/” 这改进了【】的下述定理:对任意的 .?《. 让我们指出,关于猜想还有类似的近似结果.年,/【】证明了 几乎所有的都可以表为的形式,其中至多有个素因子即为. 而年】将以上改进为. 我们用圆法证明定理.为此,令 。, 一/?‘ 其中/一.利用关于有理逼近的引理,每个?, 都可写成 /,, 其中?,满足 ?且?,.我们以.,记满足的 之集,并以.表示所有,的并,这里???尸且,. 余区问 .为.在/,/中的补.因为?,所以诸主区间 .,两两不交.令 ?/ ?/?/, 定义 丁口? ~ ,??。 ”~ 这里的?或矿设 扎 ?。。 ?,~.~ 则有 ,邪刈?如厶厶 为了估计余区间上的积分,除了我们的想法之外,还要用到【】【 和】中的思想.这里主要的困难来自主区间上的积分.我们解决了 这 一困难,证明了定理.设/ ,而一.剥有 / ,,一扎一己一 朋 此处是该问题中的奇异级数,而是多重积分,满足 一《《。. 从一 看出,我们的主区间很大.为了得到这样强的结果,我们 不能直接应用?定理.以前人们都是用.现象 来处理增大了的主区间:例如参看 『. 】等.但此处我们要用另外的方法来证明定理.这个 【】,以及? 方法是展涛发明的,后来许多作者都应用了这一方法,例如? ,以 及 .. .这个方法表明,在素变数的个数为三个或更多时,零点 就不再对问题有实质性的影响、从而就可以避免使用。现象. 在本文问题中,变数的个数为四个,因此我们可以避开?现象, 而用三一函数的零点密度估计,非零区域,大筛法等达到目的.展 涛的上 述方法不但简洁,而且能给出更好的结果. .? 一函数的猜想及其应用 ? 在第四章,我们用 一函数的猜想简记为 来研究猜想.关于此猜想的准确涵义,请见第四章第一节. 粗略地说,一个. .函数是一些局部因子的乘积,而后者由某些三 次方程的解数确定.猜想断言:每个如上定义的.、? 上一函数可以解析开拓到全平面,且其所有非显然零点都位于临 界直线上.从猜想 日,回到算术背景, 和,】独立证明了下述猜想’: ?《 ? 其中是表为四个整数立方和的表法个数. 利用这一估计并结合圆法的改进见定理下面的阐述,我们得到 定理.设日成立.以记满足必要条件且使得猜想不成 立的 的个数,则有 ?《”, 从而满足必要条件的几乎所有的正整数都可表为的形式. 定理.若成立,剐每个满足?的?都可表为七个素数 的立方和, 衍定.? 且表法个数有渐近公式. 以上两个定理可与华的结果和相比较.同时我们还指出,定理 有条件地改进了定理.,,。 / 一函数 主题词:?问题筛法圆法? ? ?’: 化黜 , “ 疰?. 住?, , ? 十砖露.?茁 ..‰ ’ ? . 《“, . 【 . /, ?,【, ;: ; ? ’ , .. , ?: ?,, , ;砖.’, . ? 】 .. , . . .. .口 帆 . . ?一 襄:. . 卢, 卢/ .% & , 三》赤 ,讵 . . / /”/, /曼, ?? 号 ,~ 船,~矿’ ’ ? ?. . , 六《,一, ? ?/ 《妇. ~ ; ,, , ? 鲥廿?竹??一?一 七 ,,挑,佻一以,,珊,一矿? ? ? . ??, 《卵一?, . ., ??, 胡??:一?一 ,,船,一矾,内,,肌一 ? ?,. , 妇? .旧. , 妇. . ?/,舻.岛 妇“忍,何 . 妇 , 《一?. ‰曼下,. ?珊凡《?.., 【【船,【 , 】 ’【 , . ., . 礼 ? ” ? 佗, . ?《?。,”. ’ 【也札 且?《一 ..,【】忭 . 】 ,. . . 一/ ’、 /一 . 口?/,/】 兰/ 口;/, , ,.耿阳, 飒口, ,研 ,口.吼 ? /,十/】. 蠲. , / /,,丁?‰ ? 矿 ,?? ~? 。 ? 一 ,‘?.,~矿 船 矿 口 口 一 口 卜 ,【 ,【 ,【 ,,凡 ,、要 上 ‘ , , 【, . ,. /一 , /??.。向 , /&,?,丁一礼忆十一?. ,如一《《一 . 口/一 ,“, . ,.. 【, ,?,. , ,, 【, 【,, ? .., . . . ..? . ,. , .?,. 、 二. . ,, &? .留 矾%,【】 【 ’: 《十,... 旷. .? / . 《/“. ?. . . ?,?;, “ / .’ . . : . . 第一章 引 言 ?. 三次方的.问题 可题是研究将整数表为素数的立方之和的可 。。姿枣的、。. 。 能性?夸童一直面的最暑结果是年由华罗庚【】证明商菇苄磊:?”? 所有充分大的奇数均可表为九个素教曲立:方之和 ;?. ’’。‘ ?鼍,乎所有满足必要条件?,的整数均可表为五个素数 的立方之和 ;;露旌露. .】 ‘ ’ ,。亨誊士:。芝要鏖还进~考证明了关于例外集的如下结论:记。 为不能表 为..的正整数?的个数,则有 《 , 一 .. ‘ 证明了..对所有成立. ’ 鎏兽.母萎尘萼的常数.后来 。一一’ 最近,本人将..中的上界改进为;/.、 ‘ 。。鬯,..。.考虑了三次方的华林问题并证明了:几乎所有的正 ?。一 整数均可表为四个自然数的立方之和 、 由鼍董箩掣毪苎塑士笋冀曼只挈如下的猜想是合理的例如,可参 见【】 一 猜想.所有满足必要奈件 ”, ?,士, ? ..的正整数均可表为四个素数的立方之和 .. ;; 从华的结果和可以看出,这是一个很强的猜想.实际上,这是一 个堆垒素数问题可见【】。其难度甚至超过哥德巴赫猜想.虽 然猜想至今还没有被证明,但是却一直受到关注. 本文的目的是从不同的方向研究猜想 可表为四个素数的立方之和的整数的密度 ?. 在第二章,我们考察使猜想成立的整数的密度.第二章的主要结 果是 定理.设?为一个大的正整数,为可表为..的正整数的集合 则存在绝对常数口使得 州 一 ?裂 从定理可知,使猜想成立的整数有正密度.求出定理中口的具体 数 值是有意义的;最近,本人证明了/见是可允许的.由此可知, 在满足必要条件..的整数中,至少有.%的整数使猜想成立. 我们的定理改进了【】的如下经典结果: 。 萎》击 ‘ 毛 现在我们给出定理的证明思路.在定理的证明中,我们需要综合 利用圆 法和筛法.令 旷/ //. 对 ,设为表为..的表法个数.其中肌一,而 ,一矿则定理可由不等式以及的如下平方均值估计得到.定理.对 如上定义的,我们有 ?《。一 / 这里《中的常数是绝对常数. 上式右边的“至关重要;事实上 的方幂上的任何损失都将影响 到定理的结果. 为证明定理,对,设为方程 ;?;一;一?一定 的解数,其中、,,?,而,,,一矿易知, ? ? ? 一 ,都有 .因此,如果我们能够证明对所有的曼九 《~, .. 则定理得证. 我们利用筛法证明...为此,设,而”为方程 ;?;一;一?一窿 .. 的解数,其中 ,,,一,,,,一矿 .. 这里的关键是筛选..式中的,使只有大的素因子.为此,对给定的 ,定义妇为..在..以及条件下的解数.由筛法理论可知,我 们需要?的渐近公式.为此,我们证明了 定理.设?/,.又设凰由. 嘣加掣憾咄 其中国为与表示式..及条件叫有关的奇异级数.,为一多重积 分.满足 ,《 ,一.?. 设耻为任何满足叩 的复数.则我们有 .. 。“?. ?珊凰《 我们利用圆法证明定理.这里除了我们的想法之外,还要用到 【【和【中的思想利用【线性筛法余项的薪形式并 用..式来控制这一余项,我们便可从定理推得定理. 一个自然数的立方与三个素数的立方和 . 在第三章,我们给出猜想的另一个近似结果 定理.设?为不超过且不能表为 .. ;; 的的个教,其中是正整数,则有 《”?/ 这一结果改进了的结果:对任意的 ?《~. 让我们指出,关于猜想还有类似的近似结果.年,【证明了 几乎所有的都可以表为..的形式,其中至多有个素因子即为 .而年】将以上改进为尸. 我们用圆法证明定理.为此,令 。, ?一/, .. 其中/一歹.利用关于有理逼近的引理,每个?/, /都可表为 ?/, 『?/. .. 其中 ?茎且口,.我们以,记满足..的。之集, 并定义主区间为所有,之并.余区间定义为在【/,/ 中的余集.因为 ,所以诸,两两不交.令 ?/. 舶晒, .. 我们定义 .. ? ~ ,??,. ~ 这里或矿设 工..。.,~,,~ 则有 。,?刈?如厶上.. 为了估计余区间上的积分,除了我们的想法之外,还要用到】】 和中的思想.这里主要的困难来自主区间上的积分.我们解决了 这 一困难,证明了 曼,而/?.则有 定理.设/ / ,,一?一? 此处是此问题中的奇异级数,而是多重积分,满足 一《《一 从/?看出,我们的主区间很大.为了得到这样强的结果,我们 不能直接应用一、定理.以前人们都是用.现象 ., 来处理增大了的主区间;例如参看 等但此处我们要用另外的方法来证明定理.这个 ,以及? 方法是展涛发明的,后来许多作者都应用了这一方法,例如?【, 以及 ?. .这个方法表明,在素变数的个数为三个或更多时,零点 就不再对问题有实质性的影响,从而就可以避免使用现象. 在本文问题中.变数的个数为四个,因此我们可以避开.现象, 而用 一函数的零点密度估计,非零区域,大筛法等达到目的.展涛的上 述方法不但简洁,而且能给出更好的结果. . 函数的猜想及其应用 ?. . 在第四章、我们用 .函数的猜想简记为何 来研究猜想.关于此猜想的准确涵义,请见第四章第节. 粗略地说,一个?三一函数是一些局部因子的乘积,而后者由某些 三 次方程的解数确定.猜想断言:每个如上定义的. 一函数可以解析开拓到全平面,且其所有非显然零点都位于临 界直线上.从猜想 和. 独立证明了下述猜想舻: 回到算术背景, ?《?‘, 其中是表为四个整数立方和的表法个数 利用这一估计并结合圆法的改进见定理下面的阐述,我们得到 定理.设日成立.以?记满足必要条件..且使得猜想不 成 的个数,则有 ?《/ 从而满足必要条件..的几乎所有的正整数都可表为..的形式. 定理.若成立,则每个满足?的都可表为七个素数 的立方之和 . ;;?;, 且表法个数有渐近公式. 以上两个定理可与华的结果和相比较.同时我们还指出,定理 有条件地改进了定理. 第二章可表为四个素数的立方之和的整数的密度 结 果 ?. 设?是一个大整数,而 /. ?厕丽, .. 对/ ,记为表为..的表法个数,其中 ,一 ,一 在本章,我们建立如下结果 定理.设?为一个大的正整数,为可袁为..的正整数的集合 剐存在绝对常数口使得 口?. : :琶 证明定理的关键是的如下平方均值估计 定理对如上定义的,我们有 . ?《。。』. 这里《中的常数是绝对常数. 利用定理,我们可以立刻给出定理的证明. 定理的证明.首先,由不等式得 州鄹,嚣州七.仫?, 再由的定义并利用素数定理得 ??????》~.将此式及 .代人..,我们得到 ?》沪》? 这里》中的常数是绝对常数.这就证明了定理. 接下来我们只需证明定理.为此设 ??,而为方程 .. ;??:一 的解数,其中 ,仇,,船一,,,,船一矿 .. 易知 .. 一 ? ? ?娜 因此,如果我们能证明:对于所有的曼九 ,都有 《工一 .. 则定理可从..及..推得 我们将在第节证明... 圆法的应用 . 设 圳?,而?为方程 ;??; .. 的解数.其中 ,,,~乩 ,,,~矿 .. 对给定的,记咐为方程..在条件..和之下的解数.本节的目的是 利用圆法证明下述结论 定理.设?/,? ,而由 、 咐:掣,。吼。, .: ’ ? 定圣..巷中&为.,定义的奇异级数.该级数绝对收敛,并且对和 一致地有 《; .. 为..定义的多重积分,满足 ,《。; .. 又设%为任何满足驰 的复数.则我们有 ? ?和疡五《一. 为了应用圆法,我们定义主区间和余区间如下:设为固定的正数, 满足 望鲁.记朋口,为区间/?。/,,口// ,.而主区问朋 定义为诸,。沣,其 口冬墨。,且,.余区间定义 为在陋/,/】中的余集.注意州汜口两两不交. 为了建立余区间上的所需估计,我们需要下面的两个引理. 引理...设和铂由定理定义,而 ,口 , ? ?驰九. 又设 。 ?叫, ? ?~ ?~ 剐对.,我们有 /』扫《一占/ 证明.该引理是?,命题的直接推广.事实上,引理..与?, ,但 命题的唯一区别是我们允许冬,而在上述命题中要求/ 这不会引起任何问题.事实上,上述命题的证明主要依赖于中的 引理,其 中假设?.因此我们只需验证上述引理对/?也成立,但从其 证明可以看出这是显然的.从而引理..得证.祥细证明见、 . 下面的结果是?中的.. 引理..。我们有 ?。《‖上? ,的变形 我们还将用到下面的结果,这是廖明哲和曾启文, 引理...设 如, 州九 垂,.:/“。。,?,:/掣。 州九乞 乞等如 “ 则我们有 ,? /垂,面丽?,皿,一 :::丝:::塑 :三 /口口..;“;..“:.... 其中 口,?,地,,?,: ,?,啦?.,己’ ,?,“而一一毗一 定理的证明.对任何可测集,定义 ,/,歹再万一. .. 压则我们雨,,,并且恤川一学一?如;砒, ?曲五卜? 织’~ 、 利用不等式以及引理..和.,可得余区问上的估计 ?缈岬卜。两酬。。悱她如 《加七咖胪瞰刮‰ × ,。。叫 《己一日// /《一,.. 这里我们用到了假设.为处理主区间,我们引进记号 乳,牡耋竽,七扯妻孚州卫四 并且对?/?,定义 肌学咐四,弘鬻邺川, 。 妒 州。帮州, 。 呈望繁朋纽掣要两至交:要壁互,.’,在上有定义.对。:。/?, 。? “’ 由华,引理.知,存在绝对常数,,使得 。一’《响, 叫一’《一,以 又由【,定理.得知 一.《。《因此,对口 一致地有 .. 歹引?一尼矿扩陋《日, 这里用到了平凡估计式,?.记 ‘一. 嵋/尼矿矿 则由..,..,孔曼,以及的测度为得 .. ??妇,朋一一:《‖‖ ~. 现在我们来计算嵋.为此,我们定义 一警七。.四 挑,喜?雾 和 / 中,‖面丽皿,?,一... 则有 驯;?乃. 利用的估计参见,., ,《/. .. 并再次利用平凡估计, ,我们有 ?训妻睑然娅塞帮《。~. 于是级数 .. ?%刚 口 绝对收敛,并且. 成立.此外,我们有 ?乃刚 口 将此式及..代人..,我们得到 吲啦掣等 据此并结合..便得 。.四 ?恤洲掣圳《‖一. 将. 和 .代人..可得 . 现在,我们只剩下证明...利用估计式 , , 《 并进行分部积分得 . 咐.耻;‖“叫哪 类似地,我们有?,《“,?“.将..中的积分 区间扩展到一。。,。。,则由此所引起的误差 《/ 『西,?.?,矿 一 , 《一一一/ ,一 ,一 《‖ 一”. 再利用引理..,我们从..得到 ,。 / 垂,皿,『皿,?,一 一? 一、 如 ,。丽/ ?‖惫彘? 。.儿 ??等/ ×仁篡篡 “一“/“’ 这里十一”一啦“.显然,如果?或。, 则有。一 或一,从而..中关于“的积分为.对 ,做积分变换,则该积分 吖 ? 归 ?/《 《/ ,一 扫 将此估计代入 .,然后平凡估计其余的积分便得..这就证明了定 理 . 下面的引理是中的.,我们将在第节中用到. 引理...设满足,,则我们有 &礼乃,十五,?乃,?, 筇 嚣 筛法的应用 . 引理...设,为方程 ;?:一;一?一鳝三 的解数,其中 协??.则,,对?和所有成立.此外 对充分失的,我们有 ,. .. 证明.如果三或,则在模的简化剩余系上,映射。一。 是双射.因此,,等于方程 的解数,其中,在模的简化剩余系上取值.此时引理..是显然的 现在假设三.我们有 护妄‰。,丽一罟咄叫 其中 三‰丽一羚 下面我们估计.首先,由【,引理.,我们有,茎/ 此外. ,一一. 舢 ?, 易知,右边的笫一项等于乘以同余方程。三?满足 ,,玑?一 的左边等于 的解数.因为三.所以该解数为?.因此,. 一.于是得到估计 ??每一. .. 通过简单的计算可知,当?时, ~;并且,对充分大的有 《/.因此?,对?和所有成立,并且有?, .引理证毕. 引理...对,.设,。为方程 ?;?:一;一?一?兰’ .. 的解数,其中??’,曼,?,.则 ?.?,对?和所有成立,并且对充分大的,我 们有 日, .. 成立: ,对 //,,, 证明.由定义得? ? ? ,?? 一?? 由定理立得. 与引理..的证明类似.对三或的情况可平凡处理. 对 .我们有 , 砑 丽 詈埘 ,?? 其中 ?,。舭虿丽~ 肚?七舭丽~了 类似..,我们有 。 、/芦、/面? 这里用到了的上界估计,曼、/可参见】,..通 过简单的计算可知。一对 成立,因此日,对 兰和所有成立.,和日,可通过计算直接证明. 事实上,对。三,,,,,分别有三,,,,.因此,当 ,时、方程..对所有是可解的.这就给出了日,.类 似可得,.这就证明了 显然 引理. .我们有. 证明。由. ,对任何素数有 ? 业訾等趟一了 一 。\/『器邝.。, ~’,口 . 对?,由引理 知上式右端.对,由..得 。五。卜。?。,一警篱于是由引理..得,,.将上述估计代人引理.. 便证得引理.... 现在我们利用筛法给出 定理的证明.我们将用,定理证明... 设满足?川冬,而为所有满足..和..的的全体,并 怕. 且按重数记.令?:.则我们有,并且 又记为所有之的素数的全体,定义 ?彩 为了证明..,我们需要给出函数 ,,:?:,。 的上界估计.为此需要获得的好的近似估计,而这已在定理中 给出.假设没有不在中的素因子,定义 .. 扮 这里由引理..保证.于是由. 掣剐州七低. 由引理..和..知是可乘的,并且对?. .. ?糍. 由..我们有 ‘, \ ,/ 、, ‘, 壹紫~警一裂 、 将上式及..代人..,我们得到 .. 岫渊.又由引理..及..知,对所有?,有 , .. 一. 因此,存在某个绝对常数,使得对所有???。,成立 七?川 南? 黔一玎孙唧 又由引理..和..知,对所有?和?,我们有?,从 而有矿“.因此,存在绝对常数,使得对所有? , .. 篆差等南 令?/。,/.由..一..知,,定理的条件 被满足,故存在绝对常数,,使得 ‘ 。 、 小洲,翼?一半 : , .. ×。抽。/ 这里 ,,??。,,,。。,其中,满足,和,而。,,不超过.定义 叩??。,其中求和号下的条件是所有满足,, 的,?.于是.我们有/?,并且 ?驰且 因为.??/,而。/,所以定理的条件被满足.因此,由定理知. .中的误差项满足《三一“.于是..可改写为 跗,刚们《跏“。里:。,一警?口..。 ,”由..,我们有 ,驴一半巡删。七。辨丽 将此式代人..,然后应用..和..便得 ,,/。《三一一《三一 显然,方程..满足 .的解数《,,/,即我们有《 一,这就证明了...从而证明了定理.第三章一个立方与三个素数 的立方和 结果 . 本章的目的是利用圆法建立如下结果 定理.设为不超过且不能袁为..的的个教,则有 ?《/”. 我们从..出发.为了处理主区问上的积分,我们需要证明 定理.设?/曼?.则对/,我们有 , / ,?,丁一佗一一... ? 这里是由..定义的奇异级数,对某个常数,满足》 ~.而,;,,由..定义并满足 一《佗《~. 我们将在第?节中证明定理. 为了估计 .中余区间上的积分,我们需要如下结果 定理.我们有 / 』. ,丁《?一/ 定理的证明将在第节给出. 有了定理和定理,现在我们可以给出定理的证明. 定理的证明.主区间上的估计由定理给出.下面处理余区间上的 估计 首先,由不等式以及定理得, , ?川《,悯,悯酬《“. 。? 。 /由此不难推出,除了至多一/个例外,对/??,有 ?《啪‘‖. 因此,对这些非例外的,我们有 ,一一“, 从而这些可以表为...对上述例外的个数?,我们有 ?《一/拙《一/?。《/娶罢 。, 定理. ?. 一个显式 奎节的目的孳建辛..左边的显式形式,这将在引理..中给出 一。’ 对 和× ,我们定义 一熹一,孚,‰九蹦,七。.,, 而对或定义 ,? 一 叭九?厶“地如, 吣萨厶纩小?扎 下面的引理将给出当?朋时,,?的渐近公式. 、 ’ ~ 。璺?。.,毪.,?”。,其中由定义.而口/ 由定理给出.则对/?,我们有‘ ,,?,?, 其中 ,. 叭?:帮吣, /?成立,其中为小正数.再由?,。/’便得. 刚,卟一南。三。’?暑吣肌, 而 .., ,?,,。,等;? ?,, . 此处卢表示 函数,的非显然零点零 点. 证明.通过引入特征,指数和,可表示为可参见】, ?, ?×... ?上九 ~? 三 利用显示公式例如,参见,?,一;?,. ?。一?;。掣?。。 、 / ’ 其中氏或取决于是否等于妒,而卢是,的非显然零 点记为上式中的大项,则..右边关于的求和等于 ? 盯 × ,??,?【 、??、,? ?一 驰八卟纛邺,州。?舭涉五 川?丁 上式中的大项可估计为 《??。。。 “《了三 将以上估计代人..,然后利用的估计..,我们便得引理 ..的结论 引理...设由..定义.则对/?,我们有 , 其中 :巡型圣,,:/ .的推论 证明.这是, 现在我们给出本节的主要结果. 引理..,我们有 厶跏,哪七叩咖五州 了/佃九,叭姒九 /?。 /,?一/ ?掣 。?杀 ,, 一一 一。 为了证明这个结果,我们需要下面的引理. 中 引理...设,,表示上,在区域口?.?, 的零点个数.定义 ?正丁,?口,丁, ?’一.??’?以丁, ? 其中表示只对模的原特征求和.则我们有 ?七.《丁/, ’口,,《。丁/。一。 证明.由】.和定理可得. 引理..的证明.首先我们证明,对口?加?,?,有 。. 州《/南只 而对或有 . 剐?,?《/彬丽工 和 。 剐,《眠丽‰沪 利用估计式 .. ‖彤 并进行分部积分得 , 。扫?如 ,;厶。 旷,眠南.。川 将..代人. 并利用..便得...在..中令 然后利用,的上界估计 .. ,《口/ 便得到.. 为了估计&,,我们注意到 筹?志魄一赤 五 击“击 因此,由,引理.和.,我们有 ?击“地赤“如 蝴;州:托。 蝴;眠;/。 鲫口 高 胪,斋