对基尼系数计算方法的比较与思考
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!""#!" $#$%" %&&
统计与决策
一!基尼系数的概念
意大利统计学家 !" 基尼在其 #$#%
年发表的一书中& 首次提出了一种不均
等指数及其计算方法!此后"英国收入分
配专家达尔顿’()*+,-./0在 1$%2 年的#收
入不均等的测量$ 一文中首次在英文文
献中介绍基尼的不均等指数& 并把它称
之为平均差指数& 而且认为该指数可以
用来研究收入分配问题% 从此以后&基尼
的不均等指数逐步受到更多人的重视 &
被后人称为基尼系数" 并且成为反映社
会分配不平等程度& 一国国民收入...
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!""#!" $#$%" %&&
统计与决策
一!基尼系数的概念
意大利统计学家 !" 基尼在其 #$#%
年发表的一书中& 首次提出了一种不均
等指数及其计算方法!此后"英国收入分
配专家达尔顿’()*+,-./0在 1$%2 年的#收
入不均等的测量$ 一文中首次在英文文
献中介绍基尼的不均等指数& 并把它称
之为平均差指数& 而且认为该指数可以
用来研究收入分配问题% 从此以后&基尼
的不均等指数逐步受到更多人的重视 &
被后人称为基尼系数" 并且成为反映社
会分配不平等程度& 一国国民收入分配
差距的重要指标! 基尼系数对评估宏观
经济形式&调整政策&调节社会关系"具
有重要的’决策依据(价值%
!一"几何意义
美国统计学家 3)4) 洛伦兹在 #$56
年提出了著名的洛伦兹曲线% 洛伦兹首
先将一国总人口按收入由低到高排队"
然后考虑收入最低的任意人口百分比所
得到的收入百分比" 最后将这样得到的
人口累积百分比和收入累积百分比的对
应关系描绘在图形上" 即得到洛伦兹曲
线)如图 #*% 横轴表示人口)按收入由低
到高分组*的累积百分比"纵轴表示收入
的累积百分比% 洛伦兹曲线的弯曲程度
反映了收入分配的不平等程度% 洛伦兹
曲线越向横轴凸出" 与完全平等线之间
的面积就越大"收入分配程度越不平等%
因此"可以将洛伦兹曲线与 78 度线
之间的部分 9 叫做 +不平等面积(,9:;
就是+完全不平等面积(% 不平等面积与
完全不平等面积之比" 称为基尼系数"
<= 99:; %9=%>
#
% ?;0=1?%;
% 当 9=5 时"
基尼系数为 5"表示收入分配绝对平等,
当 ;=5 时"基尼系数为 1"表示收入分配
绝对不平等% 基尼系数是 5?1 之间的数
值"基尼系数越大"不均等程度越高,基
尼系数越小"收入分配越平等%衡量收入
差距的一般
为- 基尼系数在 5)% 以
下表示高度平均,5)%?5)@ 之间表示相对
平均 ,5)@?5)7 之间表示较为合理 ,5)7?
5)8 之间表示差距偏大,5)8 以上为差距
悬殊%
!二"计算公式
根据新帕雷格拉夫经济学辞典 &基
尼系数的原始计算公式是A
!= 1/>/?10
/
B = 1
!
/
C = 1
!DEB?ECD"5F!F%"E
其中 &DEB?ECD表示任何一对样本的收
入差的绝对值 &/ 是样本数量 &"E 是收入
均值% 经过后人的改造&现在常用的基尼
系数即相对基尼系数的一般计算公式可
以表示如下-<= !%"E
=
/
B = #
!
/
C = #
!DEB ?EC D
%/
%
GE
"其
中&DEB?ECD 表示任何一对样本的收入差的
绝对值&/ 是样本数量& "E是收入均值%
二!基尼系数计算方法
现在" 经济学家已经掌握了多种计
算基尼系数的方法"例如-几何法)
EB &$E VJGE
是 由
9/+/Q 于 #$Z@ 年提出"因为 $E =
#
/
/
B = #
!B=
/:#
%
"L.S>EB &$E V=
#
/ $E EB?
/:#
% GE
"所以可
以写成 <= %L.S>EB &$E V/GE
= %/%GE
/
B = #
!$ E EB ?
/:#
/
" 基尼系数为任意收入与其序号的
协方差的函数%
连续分 布 -WHKJ+/ 和 _B-‘N+aB 于
#$Z7 年提出了关于连续分布的计算公
#刘 颖 谢 萌 丁 勇
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"""""""""""""""""""""""""""""""""#################################$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’(((((((((((((((((((((((((((((((((的比较与思考对
图 # 洛化兹曲线
图 %
WbWc^db^[9^!"#$
!"
!
"#
"$
!""#!" $#$%" %&&
统计与决策
式! 因为在连续分布中基尼绝对平均差
可以表达为!!!"#$%&$’#!
(
)
! (
)
!#$&*#+,*-+,$-
.*.$!/
(
)
!0,*-12&0,*-3.*"其中 0 为绝对
平均数的分布# 经过部分积分和变量替
换后可以写成 !!4
(
)
!$,0,$-& 2/ -+,$-.$"
令 +,$-.$!0,$-"变积分区域 1(5)3为 16"23"
原式变为 !!4
2
6
!$,0-,0& 2/ -.0#0 是一个
在 16"23之间的分布"其均值为 2/
"所以
!!4789,$50,$--# 由第二种方法定义基尼
系数 :! !/;$
! /789,$50,$--;$
#
<=)=.$2>?@%和 A%BCD)E$2>?4%用不
同的方法得到了一致的结果& 协方差法
已经被编写成程序" 可以直接用统计软
件包来计算基尼系数&
基于协方差法" 下面介绍一种计算
基尼系数的简单方法&
:! /789,$%5"$-F#$
& $2%
因为 GHI,$%5"$-!$$$"$%,$%5"$- $/%
$$是个体收入标准差"$J$是个体序
号的标准差"%,$%5J$-是 $%和 $$相关系数&
$"$!
F
% ! 2
" %& FK2/# $
/
F% ,@-
其中 "
F
% ! 2
" %& FK2/& $
/
!
F
% ! 2
",%/&%,FK2-K
,FK2-/
4 -!
F
% ! 2
"%/& ,FK2-
F
% ! 2
"%K
F
% ! 2
",FK2-/
4
& $
! F,FK2-,/FK2-L &
F,FK2-/
/ K
F,FK2-/
4
! F,F
/&2-
2/
M$"$ !
$F
/
&2%
2/% ,4-
M:! /789,$%5"$ -F#$
! /$$ F
/
&2% %,$%5"$ -
2/% F#$
!
2
@%
$
#$
%,$%5"$ - F
/
&2%
F
$N%
如果 F 足够大" F
/
&2%
F ’2
/
所以":’ 2
@%
$$
#$
%,$%5"$ - ,L-
基尼系数可以分解为! 常数 * 收入
的标准差系数 @O收入与序号的相关系
数"$$5#$% 都十分好计算"甚至可以手算
得出结果&
假如 $ 和 " 有如下线性关系即列队
分布曲线呈线形$见图 @ 中的 < 直线%"
那么可以表示为!$!)K(J$
有 %,$%5"$ -!2" $$!($J$"
由$4%"$"$! ,F
/
&2-
2/%
可得"$$! ( F
/
&2%
2/%
$P%
又 Q#$!)K("$!)K(O FK2/
$?%
由$P%’(?%联立可得
!$
#$
! ( F
/
&2% R 2/%
)K(O,FK2- R / !
( F
/
&2%
/ @% ,)K( FK2/
-
若令 ) 显著小"则简化为!
!$
#$
! ( F
/
&2%
/ @% ,)K( FK2/ -
! ( F
/
&2%
/ @% ,( FK2/ -
! F
/
&2%
@% ,FK2-
! ,FK2-,F&2-%
@% ,FK2-
! 2
@%
F&2
FK2%
’ 2
@%
(>%
联立(>%和(N%!
:! 2
@%
!$
#$
% ,$%5" $ -
F
/
&2%
F !
2
@%
O 2
@%
O F&2FK2% F
/&2
F% ! 2@
F&2
F ’
2
@
结论! 若 ST=UV S)J).T 为线性"基
尼系数! 2@
#当 F 足够大$
初看此结论可能很奇怪" 假如有 /
个这样的序列 " (2"/"@"4"N% 和 (266"
/66"@66"466"N66%" 但这两个序列却具
有相同的基尼系数值& 这是因为尽管两
者离散程度差异很大"但组(/%的每个数
都是组(2%的 266 倍"也就是说组中的每
个数与均值的相对程度是一样的" 组(
/%仅是组(2%按一定比例的扩大&
然而 ST=UV S)J).T 在现实中是凸
的(见图 @ 中的 W 曲线%"即收入开始增
长很慢"然后收入的绝对数逐渐增加"最
后收入增长速度也不断增快"W 比 < 分
配更加不公平&
%四&矩阵法
矩阵法是 S$)BB,2>PL-提出的 "他定
义基尼系数的表达式为两项的比率"即!
:! ,)-,(-
& ,)-是 2=/
=
% ! 2
"
=
’ ! 2
"X)*,65$%&$’-"称为
)平均收入差距*" 如果每个个体可将他
的收入与另一个体进行比较 " 当 $%Y$’
时 "则 X)*,65$%&$’-的值取 $%&$’"否则取
零+,(-是收入的平均数 ;$&如果对人口分
成 Z 组"第 % 组人口占总人口比率为 [%"
所以可以将平均收入差距定义为 !
E
% ! 2
"
E
’ ! 2
"",\)%=#%(’-[J ,%(’-"[J,%(’-![%[’"
E
% ! 2
"
[%!25" 是由 "%’ 组成的 EOE 矩阵 ""%’!"
,\)%=#%(’-+[!,[25[/5, 5[E-U 为由 [% 组成的
EO2 矩阵"X!,X25X/5 ,5XE-U 为每一组收
入的均值组成的 EO2 矩阵& 所以 XU[!
E
% ! 2
"X%[%!;$"SU"S 为总的收入差距" 基尼
系数可表示为 :!,XUS-&2SU"S& 其中的 "
可以进行各种分解以得到我们所需分析
的对象&由此看来"若要对基尼系数进行
分解"则可以使用矩阵法&
三!结论
2] 第一种方法几何法简单明了"具
有很强的直观性" 除了本文中介绍的方
法外"还有拟合曲线法"对洛伦茨曲线拟
合曲线方程进而求得基尼系数+ 以及弓
形面积法" 根据弓形面积法的计算公式
直接计算基尼系数&总的来说"用几何法
计算基尼系数的精度比较低" 只有通过
细化分组来解决" 分组越细" 准确性越
高"当组数趋于无穷大时"误差趋于零&
/]第二种方法基尼平均差法是协方
差法的基础" 虽然用这种方法计算基尼
系数也很繁琐" 但是它的思想和本质使
得基尼系数不仅用于反映收入分配的不
平等程度" 还可以用于一切分配问题和
均衡程度的分析" 尤其可以用于描述财
产’资本’资源’产品’市场等资源分配的
均衡程度" 大大地拓展了基尼系数本身
的内涵&
@]协方差法是应用得最多"计算最简
单的方法"由于它的优良品质"大部分统
计软件以它的原理来编程计算基尼系数&
4]矩阵法为基尼系数的分解提供了
便利"在计算出基尼系数值后"为了进一
步研究收入分配差距的构成和成因"可
以将基尼系数进一步分解& 利用基尼系
数分解法" 分析各项收入来源在总收入
中的份额’ 不均等程度及其对总差距的
贡献+也可以利用此方法"分析收入差距
的地区构成’行业构成和人员构成&基尼
系数的分解方法属于前沿理论和方法"
掌握矩阵法是把握基尼系数分解的前
提&
!作者单位 R中央财经大学经济学院"
上海金融学院#
"责任编辑 R李友平#
图 @$ST=UV [)J).T"列队分布#4 N
^_^‘Fa_Fb
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