对基尼系数计算方法的比较与思考

" 但是把这个关系与计算 基尼系数联系在一起还是由后来 9/+/Q 提出的% 离 散 分 布 -< = %L.S>EB &$E VJGE 是 由 9/+/Q 于 #$Z@ 年提出"因为 $E = # / / B = # !B= /:# % "L.S>EB &$E V= # / $E EB? /:# % GE "所以可 以写成 <= %L.S>EB &$E V/GE = %/%GE / B = # !$ E EB ? /:# / " 基尼系数为任意收入与其序号的 协方差的函数% 连续分 布 -WHKJ+/ 和 _B-‘N+aB 于 #$Z7 年提出了关于连续分布的计算公 #刘 颖 谢 萌 丁 勇 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"""""""""""""""""""""""""""""""""#################################$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’(((((((((((((((((((((((((((((((((的比较与思考对 图 # 洛化兹曲线 图 % WbWc^db^[9^!"#$ !" ! "# "$ !""#!" $#$%" %&&#& 统计与决策 式! 因为在连续分布中基尼绝对平均差 可以表达为!!!"#$%&$’#! ( ) ! ( ) !#$&*#+,*-+,$- .*.$!/ ( ) !0,*-12&0,*-3.*"其中 0 为绝对 平均数的分布# 经过部分积分和变量替 换后可以写成 !!4 ( ) !$,0,$-& 2/ -+,$-.$" 令 +,$-.$!0,$-"变积分区域 1(5)3为 16"23" 原式变为 !!4 2 6 !$,0-,0& 2/ -.0#0 是一个 在 16"23之间的分布"其均值为 2/ "所以 !!4789,$50,$--# 由第二种方法定义基尼 系数 :! !/;$ ! /789,$50,$--;$ # <=)=.$2>?@%和 A%BCD)E$2>?4%用不 同的方法得到了一致的结果& 协方差法 已经被编写成程序" 可以直接用统计软 件包来计算基尼系数& 基于协方差法" 下面介绍一种计算 基尼系数的简单方法& :! /789,$%5"$-F#$ & $2% 因为 GHI,$%5"$-!$$$"$%,$%5"$- $/% $$是个体收入标准差"$J$是个体序 号的标准差"%,$%5J$-是 $%和 $$相关系数& $"$! F % ! 2 " %& FK2/# $ / F% ,@- 其中 " F % ! 2 " %& FK2/& $ / ! F % ! 2 ",%/&%,FK2-K ,FK2-/ 4 -! F % ! 2 "%/& ,FK2- F % ! 2 "%K F % ! 2 ",FK2-/ 4 & $ ! F,FK2-,/FK2-L & F,FK2-/ / K F,FK2-/ 4 ! F,F /&2- 2/ M$"$ ! $F / &2% 2/% ,4- M:! /789,$%5"$ -F#$ ! /$$ F / &2% %,$%5"$ - 2/% F#$ ! 2 @% $ #$ %,$%5"$ - F / &2% F $N% 如果 F 足够大" F / &2% F ’2 / 所以":’ 2 @% $$ #$ %,$%5"$ - ,L- 基尼系数可以分解为! 常数 * 收入 的标准差系数 @O收入与序号的相关系 数"$$5#$% 都十分好计算"甚至可以手算 得出结果& 假如 $ 和 " 有如下线性关系即列队 分布曲线呈线形$见图 @ 中的 < 直线%" 那么可以表示为!$!)K(J$ 有 %,$%5"$ -!2" $$!($J$" 由$4%"$"$! ,F / &2- 2/% 可得"$$! ( F / &2% 2/% $P% 又 Q#$!)K("$!)K(O FK2/ $?% 由$P%’(?%联立可得 !$ #$ ! ( F / &2% R 2/% )K(O,FK2- R / ! ( F / &2% / @% ,)K( FK2/ - 若令 ) 显著小"则简化为! !$ #$ ! ( F / &2% / @% ,)K( FK2/ - ! ( F / &2% / @% ,( FK2/ - ! F / &2% @% ,FK2- ! ,FK2-,F&2-% @% ,FK2- ! 2 @% F&2 FK2% ’ 2 @% (>% 联立(>%和(N%! :! 2 @% !$ #$ % ,$%5" $ - F / &2% F ! 2 @% O 2 @% O F&2FK2% F /&2 F% ! 2@ F&2 F ’ 2 @ 结论! 若 ST=UV S)J).T 为线性"基 尼系数! 2@ #当 F 足够大$ 初看此结论可能很奇怪" 假如有 / 个这样的序列 " (2"/"@"4"N% 和 (266" /66"@66"466"N66%" 但这两个序列却具 有相同的基尼系数值& 这是因为尽管两 者离散程度差异很大"但组(/%的每个数 都是组(2%的 266 倍"也就是说组中的每 个数与均值的相对程度是一样的" 组( /%仅是组(2%按一定比例的扩大& 然而 ST=UV S)J).T 在现实中是凸 的(见图 @ 中的 W 曲线%"即收入开始增 长很慢"然后收入的绝对数逐渐增加"最 后收入增长速度也不断增快"W 比 < 分 配更加不公平& %四&矩阵法 矩阵法是 S$)BB,2>PL-提出的 "他定 义基尼系数的表达式为两项的比率"即! :! ,)-,(- & ,)-是 2=/ = % ! 2 " = ’ ! 2 "X)*,65$%&$’-"称为 )平均收入差距*" 如果每个个体可将他 的收入与另一个体进行比较 " 当 $%Y$’ 时 "则 X)*,65$%&$’-的值取 $%&$’"否则取 零+,(-是收入的平均数 ;$&如果对人口分 成 Z 组"第 % 组人口占总人口比率为 [%" 所以可以将平均收入差距定义为 ! E % ! 2 " E ’ ! 2 "",\)%=#%(’-[J ,%(’-"[J,%(’-![%[’" E % ! 2 " [%!25" 是由 "%’ 组成的 EOE 矩阵 ""%’!" ,\)%=#%(’-+[!,[25[/5, 5[E-U 为由 [% 组成的 EO2 矩阵"X!,X25X/5 ,5XE-U 为每一组收 入的均值组成的 EO2 矩阵& 所以 XU[! E % ! 2 "X%[%!;$"SU"S 为总的收入差距" 基尼 系数可表示为 :!,XUS-&2SU"S& 其中的 " 可以进行各种分解以得到我们所需分析 的对象&由此看来"若要对基尼系数进行 分解"则可以使用矩阵法& 三!结论 2] 第一种方法几何法简单明了"具 有很强的直观性" 除了本文中介绍的方 法外"还有拟合曲线法"对洛伦茨曲线拟 合曲线方程进而求得基尼系数+ 以及弓 形面积法" 根据弓形面积法的计算公式 直接计算基尼系数&总的来说"用几何法 计算基尼系数的精度比较低" 只有通过 细化分组来解决" 分组越细" 准确性越 高"当组数趋于无穷大时"误差趋于零& /]第二种方法基尼平均差法是协方 差法的基础" 虽然用这种方法计算基尼 系数也很繁琐" 但是它的思想和本质使 得基尼系数不仅用于反映收入分配的不 平等程度" 还可以用于一切分配问题和 均衡程度的分析" 尤其可以用于描述财 产’资本’资源’产品’市场等资源分配的 均衡程度" 大大地拓展了基尼系数本身 的内涵& @]协方差法是应用得最多"计算最简 单的方法"由于它的优良品质"大部分统 计软件以它的原理来编程计算基尼系数& 4]矩阵法为基尼系数的分解提供了 便利"在计算出基尼系数值后"为了进一 步研究收入分配差距的构成和成因"可 以将基尼系数进一步分解& 利用基尼系 数分解法" 分析各项收入来源在总收入 中的份额’ 不均等程度及其对总差距的 贡献+也可以利用此方法"分析收入差距 的地区构成’行业构成和人员构成&基尼 系数的分解方法属于前沿理论和方法" 掌握矩阵法是把握基尼系数分解的前 提& !作者单位 R中央财经大学经济学院" 上海金融学院# "责任编辑 R李友平# 图 @$ST=UV [)J).T"列队分布#4 N ^_^‘Fa_Fb