6-2 化二次型为标准型null第二节二、 无穷大 第六章 二次型第二节上页 下页 返回 结束 配方法 正交变化法化二次型为标准型初等变换法一、正交变化法一、正交变化法设 对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求
可逆的线性变换,将二次型化为标准形.null定义2 (P166)则称矩阵 A 与 B 合同注:合同矩阵具有反身性、对称性、传递性.null说明nullnull用正交变换化二次型为标准形的具体步骤null解1.写出对应的二次型矩阵,并求其特征值null从而得特征值2.求特征向量null3.将特征向量正交化得正交向量...
null第二节二、 无穷大 第六章 二次型第二节上页 下页 返回 结束 配
正交变化法化二次型为标准型初等变换法一、正交变化法一、正交变化法设 对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求
可逆的线性变换,将二次型化为标准形.null定义2 (P166)则称矩阵 A 与 B
注:合同矩阵具有反身性、对称性、传递性.null说明nullnull用正交变换化二次型为标准形的具体步骤null解1.写出对应的二次型矩阵,并求其特征值null从而得特征值2.求特征向量null3.将特征向量正交化得正交向量组nullnull于是所求正交变换为练习题练习题解解null上页 下页 返回 结束 null于是得正交阵上页 下页 返回 结束 null例3 课本P170例5小结小结 1. 实二次型的化简问题,在理论和实际中
经常遇到,通过在二次型和对称矩阵之间建立一
一对应的关系,将二次型的化简转化为将对称矩
阵化为对角矩阵,而这是已经解决了的问题,请
同学们注意这种研究问题的思想方法. 2. 实二次型的化简,并不局限于使用正交
矩阵,根据二次型本身的特点,可以找到某种运
算更快的可逆变换.下面我们将介绍另一种
方法——拉格朗日配方法.二、拉格朗日配方法二、拉格朗日配方法 用正交变换化二次型为标准形,其特点是保
持几何形状不变. 问题 有没有其它方法,也可以把二次型化
为标准形? 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有
效的方法——拉格朗日配方法.null拉格朗日配方法的步骤化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方
法配方.null解nullnull所用变换矩阵为null解由于所给二次型中无平方项,所以null再配方,得null所用变换矩阵为小结小结 将一个二次型化为标准形,可以用正交变换
法,也可以用拉格朗日配方法,或者其它方法,
这取决于问题的要求.如果要求找出一个正交矩
阵,无疑应使用正交变换法;如果只需要找出一
个可逆的线性变换,那么各种方法都可以使用.
正交变换法的好处是有固定的步骤,可以按部就
班一步一步地求解,但计算量通常较大;如果二
次型中变量个数较少,使用拉格朗日配方法反而
比较简单.需要注意的是,使用不同的方法,所
得到的标准形可能不相同,但标准形中含有的项
数必定相同,项数等于所给二次型的秩.练习题练习题练习题解答练习题解答三、初等变换法(P174)三、初等变换法(P174)请大家自学.
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