6-2 化二次型为标准型

null第二节二、 无穷大 第六章 二次型第二节上页 下页 返回 结束 配方法 正交变化法化二次型为型初等变换法一、正交变化法一、正交变化法设　　对于二次型，我们讨论的主要问是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．null定义2 (P166)则称矩阵 A 与 B 合同注：合同矩阵具有反身性、对称性、传递性.nullnullnull用正交变换化二次型为标准形的具体null解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值null从而得特征值2．求特征向量null3．将特征向量正交化得正交向量组nullnull于是所求正交变换为练习题练习题解解null上页 下页 返回 结束 null于是得正交阵上页 下页 返回 结束 null例3 课本P170例5小结小结　　1.　实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法．　　2.　实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换．下面我们将介绍另一种 方法——拉格朗日配方法．二、拉格朗日配方法二、拉格朗日配方法　　用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变．　　问题　有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？　　问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．null拉格朗日配方法的步骤化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.null解nullnull所用变换矩阵为null解由于所给二次型中无平方项，所以null再配方，得null所用变换矩阵为小结小结　　将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．练习题练习题练习题解答练习题解答三、初等变换法(P174)三、初等变换法(P174)请大家自学.